「学习笔记」泰勒级数

多项式函数是长这样的函数：

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

它有一个很 $N i c e$ 的特点：代人 $x$ ，在 $O (n)$ 的时间内就可以求出 $f (x)$ ，没有任何障碍.

但是这样的函数：

g (x) = e^{x}

h (x) = s i n x

想得到 $g (3)$ 或是 $h (7)$ 就比较困难了。因此我们需要用多项式函数去”取代”这些奇怪的函数。

逼近 $f (x) = e^{x}$ 在x靠近0时的函数值

step1：用 $y = a_{0} + a_{1} x$ 去逼近它.

具体的方法是让它的斜率等于 $f (x)$ 在 $x = 0$ 时的导数：1

让直线过 $(0, 1)$ ，于是得到的直线 $y = x + 1$

效果如下图：

「学习笔记」泰勒级数

在 $x$ 离 $0$ 很近的时候还是比较精确的.

step2：用 $g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ 这个二次多项式去逼近它.

具体方法是让它在 $x = 0$ 处的函数值、导数值、二阶导数值与 $f (x)$ 相等.

f (x) = e^{x}, f (0) = 1

f^{'} (x) = e^{x}, f^{'} (0) = 1

f^{″} (x) = e^{x}, f^{″} (0) = 1

再看这个二次多项式：

g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}, g (0) = a_{0}

g^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x, g^{'} (0) = a_{1}

g^{″} (x) = 2 a_{2}, g^{″} (0) = 2 a_{2}

因为要让 $f (x), f^{'} (x), f^{″} (x)$ 与 $g (x), g^{'} (x), g^{″} (x)$ 分别对应相等，所以：

a_{0} = 1, a_{1} = 1, 2 a_{2} = 1

所以 $g (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$

效果如下图.

「学习笔记」泰勒级数

已经非常接近了呢.

step3：用 $g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3}$ 这个三次多项式去逼近它.

具体方法是让它在 $x = 0$ 处的函数值、导数值、二阶导数值、三阶导数值与 $f (x)$ 相等.

f (x) = e^{x}, f (0) = 1

f^{'} (x) = e^{x}, f^{'} (0) = 1

f^{″} (x) = e^{x}, f^{″} (0) = 1

f^{‴} (x) = e^{x}, f^{‴} (0) = 1

再看这个三次多项式：

g (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}, g (0) = a_{0}

g^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{2}, g^{'} (0) = a_{1}

g^{″} (x) = 2 a_{2} +, 6 a_{3} x, g^{″} (0) = 2 a_{2}

g^{‴} (x) = 6 a_{3}, g^{‴} (0) = 6 a_{3}

因为要让 $f (x), f^{'} (x), f^{″} (x), f^{‴} (x)$ 与 $g (x), g^{'} (x), g^{″} (x), g^{‴} (x)$ 分别对应相等，所以：

a_{0} = 1, a_{1} = 1, 2 a_{2} = 1, 6 a_{3}

所以 $g (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6}$

效果如下图.

「学习笔记」泰勒级数

最后，推测得出结论:

e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots

泰勒展开

一般来说，一个奇怪函数 $f (x)$ ，可以通过多项式函数 $g (x)$ 得到固定点 $a$ 的近似值. $g (x)$ 的形式是这样的：

g (x) = b_{0} + b_{1} (x - a) + b_{2} (x - a)^{2} + b_{3} (x - a)^{3} + \dots + b_{n} (x - a)^{n}

经过和之前相似的一系列的推导（雾），得到了 $f a m o u s$ 的公式：

泰勒逼近（泰勒展开）。

$f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{‴} (a)}{3!} (x - a)^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n}$

把 $a = 0$ 代人，就得到了：

马克劳林逼近。

$f (x) \approx f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{‴} (0)}{3!} x^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}$

泰勒级数的几个例子

泰勒公式基本就是这样了，下面是三个著名泰勒级数：

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots

s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots

c o s x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots

「学习笔记」泰勒级数

逼近f(x)=exf(x)=ex在x靠近0时的函数值

泰勒展开

泰勒级数的几个例子

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