让微积分穿梭于工作与学习之间（30）：用夹逼公式去掉圆弧直线定积分（投影面积）中的if判断

对CAD圆弧直线不了解的朋友可以先阅读以下博文：

https://blog.****.net/iloveas2014/article/details/103837857

https://blog.****.net/iloveas2014/article/details/103848611

 

这个东西虽然涉及到积分的知识，但我们在第21篇和22篇就已经推导过了。所以这里我们把用到夹逼定理之前的式子搬过来。

然后，oy，eα，sα和R都是跟圆心角α有关的变量，都需要化开。

这个地方，由于我写教程间隔的时间太长了，加上自己没有规范好一些字母的含义，所以跟前面的式子有点混淆。此处cy不再表示圆心了，而是起点和终点连线的中点。所以我把21篇和22篇中的cy改为了oy，并且有

然后，sα和eα代表起点的角度和终点的角度，按照之前的约定，sα和eα的角平分线的角度定为cα，在圆心角变化的过程中，是个常量。

而R则等于L/2*csc(α/2)

L为S和E的距离，也是常量。

现在我们就代入展开吧。

中括号内第一项包含sin(α/2)，跟括号外的公因子csc(α/2)互为倒数，可以抵消。我们先把这块给提出来。后面部分的则提取公因子L。

后面的部分看着还是很乱，曾让我一度陷入困境，本来想着再提取csc(α/2)的，但可惜第一项没有。不过后面想了想，就因为这样而不能提取了么？反正提取了csc(α/2)，第一项乘个sin(α/2)就抵消了，还正好凑到了正弦的二倍角公式，跟第三项的sinα相互呼应。

这样一看，中括号内的部分简洁了很多，我们把余弦的二倍角展开下，虽然它是常量，但展开后更方便跟单倍角的平方合并。用的是这个公式。

代入继续。

中括号内的部分因为跟cα有关的两个项被相互抵消而变得更简洁了。

要求极限的部分也就只剩最后面的部分。

这个极限手算很简单，用洛必达法则一下子就能算出来了。

但非常遗憾的是，洛必达法则的过程无法在非数学编程语言中进行实现。然后我想了很多很多的办法，尝试把它变成夹逼公式或其变体，都失败了。主要原因在于三角函数和幂函数在这里是加减而非乘除，它不具备夹逼公式的特点。

既然如此，那我们先试着把这个极限化为通用性较强的公式，并且放入到公用的极限公式里面。

比如可以写成这样：

也可以用另一种等价无穷小替代原始极限：

这样，上式中的

也被归入到极限公式当中了。

投影面积公式去if的操作没有想象中的顺利，这也是跟定积分的公式有关。在定积分公式中，α既存在于幂函数中，也存在于三角函数，它们位于不同的项，相加减的过程跟无法用初等数学的方法进行合并，也很难整理成sinx/x这样的夹逼形式。既然如此，那这里就先这样凑合着好了，等我想到更好的办法再来更新。