最长公共子序列

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#defineMAXLEN100

voidLCSLength(char*x,char*y,intm,intn,intc[][MAXLEN],intb[][MAXLEN])
{
inti,j;

for(i=0;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(j=1;j<=n;j++)
c[0][j]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(x[i-1]==y[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=0;
}
elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=1;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=-1;
}
}
}
}

voidPrintLCS(intb[][MAXLEN],char*x,inti,intj)
{
if(i==0||j==0)
return;
if(b[i][j]==0)
{
PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
printf("%c",x[i-1]);
}
elseif(b[i][j]==1)
PrintLCS(b,x,i-1,j);
else
PrintLCS(b,x,i,j-1);
}

intmain(intargc,char**argv)
{
charx[MAXLEN]={"ABCBDAB"};
chary[MAXLEN]={"BDCABA"};
intb[MAXLEN][MAXLEN];
intc[MAXLEN][MAXLEN];
intm,n;

m=strlen(x);
n=strlen(y);

LCSLength(x,y,m,n,c,b);
PrintLCS(b,x,m,n);

return0;
}