数据结构(6) 串 [二] ( KMP模式匹配算法 )
KMP模式匹配算法 (朴素算法的升级版本)
原理:
主串 S: “abcdefgab”找到 子串T “abcdex” 的位置
如果采用朴素算法,前5个字母,两个串完全相等,直到第6个字母,"f"与“x”不等,如图
如图,按照朴素模式匹配算法,应该是如图②③④⑤⑥。即主串S中当i = 2,3,4,5,6时,首字符与子串T的首字符俊不等。
仔细观察,子串T “abcdex” 首字母“a”与后面串“bcdex”中任意一个字符都不相等。②③④⑤是多余的。
理解KMP关键:
子串T “abcdex” 中的首字符“a”,与T中后面的字符均不相等。而T串的第二位“b”与S串的第二位"b“,在①中已经判断相等了,那么T串中首字符串”a“,与S串的第二位”b“,是不需要判断也知道他们是不可能相等。②可以忽略
同理,T串中首字符”a“ 与T中后面的字符均不相等的前提下,T串中的”a“ 与S后面的”c“,”d“,”e“也都可以在①之后就可以确定是不相等的,所以这个算法中②③④⑤没有必要,只保留①⑥即可
之所以保留⑥中的判断是因为在①中,T[6] ≠S[6],尽管我们已经知道T[1]≠T[6],但也不能断定T[1]一定不等于S[6].所以保留。
另一种情况,如果T串后面也含有受字符”a“怎么办呢。
主串 S: “abcabcabc”找到 子串T “abcabx” 的位置
数学不好,中间的Max部分怎么理解,需要以后进行划分,有知道的同学,望指教。
推导方式一 (易于理解版本):
首先,字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符,进行比较。因为B与A不匹配,所以搜索词后移一位。
因为B与A不匹配,搜索词再往后移。
就这样,直到字符串有一个字符,与搜索词的第一个字符相同为止。
接着比较字符串和搜索词的下一个字符,还是相同。
直到字符串有一个字符,与搜索词对应的字符不相同为止。
这时,最自然的反应是,将搜索词整个后移一位,再从头逐个比较。这样做虽然可行,但是效率很差,因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置,重比一遍。
一个基本事实是,当空格与D不匹配时,你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是,设法利用这个已知信息,不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置,继续把它向后移,这样就提高了效率。
怎么做到这一点呢?可以针对搜索词,算出一张《部分匹配表》(Partial Match Table)。这张表是如何产生的,后面再介绍,这里只要会用就可以了。
已知空格与D不匹配时,前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知,最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2,因此按照下面的公式算出向后移动的位数:
移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值
因为 6 - 2 等于4,所以将搜索词向后移动4位。
因为空格与C不匹配,搜索词还要继续往后移。这时,已匹配的字符数为2(“AB”),对应的"部分匹配值"为0。所以,移动位数 = 2 - 0,结果为 2,于是将搜索词向后移2位。
因为空格与A不匹配,继续后移一位。
逐位比较,直到发现C与D不匹配。于是,移动位数 = 6 - 2,继续将搜索词向后移动4位。
逐位比较,直到搜索词的最后一位,发现完全匹配,于是搜索完成。如果还要继续搜索(即找出全部匹配),移动位数 = 7 - 0,再将搜索词向后移动7位,这里就不再重复了。
下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。
首先,要了解两个概念:“前缀"和"后缀”。 "前缀"指除了最后一个字符以外,一个字符串的全部头部组合;"后缀"指除了第一个字符以外,一个字符串的全部尾部组合。
"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例,
- "A"的前缀和后缀都为空集,共有元素的长度为0;
- "AB"的前缀为[A],后缀为[B],共有元素的长度为0;
- "ABC"的前缀为[A, AB],后缀为[BC, C],共有元素的长度0;
- "ABCD"的前缀为[A, AB, ABC],后缀为[BCD, CD, D],共有元素的长度为0;
- “ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD],后缀为[BCDA, CDA, DA, A],共有元素为"A”,长度为1;
- “ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA],后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B],共有元素为"AB”,长度为2;
- "ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB],后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D],共有元素的长度为0。
"部分匹配"的实质是,有时候,字符串头部和尾部会有重复。比如,“ABCDAB"之中有两个"AB”,那么它的"部分匹配值"就是2("AB"的长度)。搜索词移动的时候,第一个"AB"向后移动4位(字符串长度-部分匹配值),就可以来到第二个"AB"的位置。
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推导方式二(难以理解):
next 数组推导:
实例一: T = ”abcdex“
实例二: T = ”abcabx“
实例三: T = ”ababaaaba“
实例四: T = ”aaaaaaaab“
算法实现:
算法改进
nextval推导