定积分不等式套路总结

定积分不等式套路总结

摘要：
暴力求导
拆分积分区间
利用泰勒展开
将常数/可导函数变形为定积分
将dx变形为d(x-c)
利用几何意义
利用柯西不等式
几个常用引理

正文：
一、暴力求导

通分后构造新函数求导

二、拆分积分区间

引入特殊点拆分
1.最值点

2.中值点


依照被积函数的正负拆分区间，使被积函数在区间内不变号

三、利用泰勒展开

在积分区间两端点展开

在积分区间的中点展开

在积分区间内最值点/导数值为0的点展开
先使用中值定理，再在所得到的中值点展开
在函数值为0的点展开
……
四、将常数/可导函数变形为定积分

（1）

（2）

结合题设将常数变为某简单函数的积分
（1）

（2）


（此时往往有f©=0的条件）

五、dx [公式] d(x-c)

简化分部积分后得到的项（使其中某一项得0）

为后续放缩搭建桥梁

六、利用几何意义（多用于凹凸函数）

七、利用cauchy不等式


八、几个常用引理

（注意这里 [公式] 不必连续）

(积分第二中值定理)

九、片末彩蛋=w=