一. 简介

       点到点的轨迹规划算法可以理解为在规定的时间T内，从已知起始点运动到末尾点的方法。这里引入中间变量s(t),它是时间的函数，定义域为[0,T]，值域为[0,1]，s与的关系见下面公式。这个公式不难理解，当s=0时，;当s=1时，。

对t求导是速度，即：

 

对t求二阶导是加速度，即

 所以

由于和是已知的，所以速度和加速度随时间的变化取决于，这里的s(t)有很多种方法，比较常用的是三次函数，五次函数，梯形曲线，S曲线等。这里对这几种曲线的方法和优缺点进行一下介绍。

二. 三次曲线

     三次曲线公式为

,

根据起始和终止时刻的约束条件即

这四个约束条件可以分别求出

所以

分别画出随时间变化的曲线。细心的朋友可以看出在在初始和末了时刻加速度是不连续的，会有冲击，这也是三次曲线的缺点。

三. 五次曲线

五次曲线公式为

根据起始和终止时刻的约束条件即

这六个约束条件可以分别求出

所以

分别画出随时间变化的曲线。从图中可以看出加速度始末时刻页是连续的，消除了三次曲线始末时刻有冲击的缺点。

四. 梯形曲线

     梯形曲线在电机控制中经常用到，因为的曲线形状为梯形，所以取名为梯形曲线，见下图。

s为分段函数，即

这里的v,a,T是有约束条件的，即

• 当指定v,a则, ，且需要满足 

• 当指定v,T则, ，且需要满足 
  

• 当指定a,T则, ，且需要满足 
  

从曲线中可以看出在四个时刻加速度不连续，存在冲击，为了改善这个问题有人提出S曲线。

五. S曲线

    S曲线见下图，

它的定义为：

    第一段：以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0增加到预先设定的a；

    第二段：以恒定的加速度加速；

    第三段：已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的a减到0；

    第四段：以恒定的速度v匀速运动；

    第五段：已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0减到预先设定的-a；

    第六段：以恒定的加速度-a减速；

    第七段：以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的-a增加到0；

在已知最大加速度a, 最大速度v和运行时间T时， 可由以下公式求得s曲线：

   

            

     

     

     

     

     

和梯形曲线一样， 也是有约束的：

解得：

      

        我也写了Matlab程序，验证了推导是正确的，且程序中如果输入的a,v,T满足上述不等式关系，则可以运算；如果不满足上述不等式关系，通过算法可以自动调整的值，使其得到可用解，这种算法也叫自适应S曲线。看后期评论，如果有很多人需要，我可以公开程序，供大家学习。

        例子：