Lic的密码学相关知识自我详解 （1）RSA
序
一直很想写一个系列，不过奈何自己水平实在不够，一直不敢写。但是看到各个大牛为大家贡献各式各样好的blog分享，觉得不把自己的学习心得与大家分享是一件挺自私的事情，因为自己其实一直都是靠阅读分享学习进步的。刚好毕业后很大一部分工作都和TLS相关，就写一些自己对密码学的理解吧。毕竟没有系统学习过密码学，难免有疏漏，请大家不吝赐教。
一、RSA是啥
RSA毫无疑问是目前最广为人知的非对称加密方式；加密传输之所以可行，很大一部分原因就是非对称加密带来一些我们传统加密所没有的特性：明明知道是怎么把数据加密的，但是却无法解密，只有用另外一半钥匙，才能解开。
由于这种特性是反直觉的，会让人觉得（至少对于我）密码学是神奇的。
RSA的使用流程如下：
1. 选取两个素数，两个数的积记为
2. 求
3. 选取整数且与
互质
4. 求整数且
，即
与
的乘积除以
的余数为1
5. 则对于待加密的，有
使用时加密方使用计算
解密方使用计算会得到
，即获得明文
二、RSA的证明
1. 取模运算的一些性质证明
由于计算机的存储位数是有限的，需要通过一些方法对运算进行限制，而取模运算就是这样一个方法；在我自己最开始接触密码学的时候，时常会觉得有点晕，其实是因为对取模运算乃至有限域性质不够熟悉导致的。因此把取模运算的一些性质证明作为这系列的第一证，希望自己也能在证明中巩固自己的基础：）
1.1
即模完加再模和加完模结果相同；
记，其中
则
，左边等于右边，证毕；
1.2
即模完乘再模积和乘完取模的结果相同；
记，其中
左边等于右边，证毕；
1.3 欧拉定理
记欧拉函数为，其值为小于
的正整数中，与
互质的数的个数；
而欧拉定理为：当与
互质，必有
；
证明：
1.3.1.首先证明当与
互质时，
与
互质；
设，若
与
存在非1公因数
，则
与
与
互质矛盾；
1.3.2.设小于的正整数中，与
互质的数分别为
，
与
互质，有
设则
又因为显然小于
，
与
存在非1公因子，与题设矛盾
1.3.3.构成
个互不相同的小于
的与
互质的数；又因为这
必然属于
所构成的集合，因此这
个数与
存在一一对应的映射关系；
由于与
互质且
与
互质；因为1与
互质，由2必然有
；
欧拉定理得证；
2.证明RSA方法成立
2.1为小于
的正整数中，与
互质的数的个数；
这个证明相对容易，小于的正整数共有n-1个，去掉p-1个q的倍数（q,2q,...,(p-1)q）和q-1个p的倍数，
剩下n-p-q+1=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)个数
记。
2.2当与
互质时，
2.3当与
不互质时，则x必为p或者q的倍数，不妨设
由欧拉定理
则可以记，且k中必包含质因素p(两边均可被p整除),
RSA加密解密后明文一致性得证