Kalman滤波算法解释与实现

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认知计算，还要从贝叶斯滤波的基本思想讲起。这一部分，我们先回顾贝叶斯公式的数学基础，然后再来介绍贝叶斯滤波器。

(一). 概率基础回顾

我们先来回顾一下概率论里的基本知识：

1. :  表示一个随机变量，如果它有有限个可能的取值.

2. :表示变量的值为 的概率。

3. :称为概率质量函数(probability mass function).

    例如：一个家里有3个房间，机器人在各个房间的概率为 .

4. 如果在连续空间取值，称为概率密度函数(probability density function)，

图1. 概率密度函数曲线示例

5. 联合概率：，称为联合概率密度分布。如果和是相互独立的随机变量，。

6. 条件概率： 是在已知的条件下，计算的概率。

    如果和相互独立，则：

7. 全概率公式：

  离散情况下:

  连续情况下：

(二). 贝叶斯公式

2.1 贝叶斯公式

基于条件概率公式和全概率公式，我们可以导出贝叶斯公式：

• 这里面一般是某种状态；一般是代表某种观测。
• 我们称为causal knowledge，意即由的已知情况，就可以推算发生的概率，例如在图2的例子中，已知如果门开着，则的概率为0.6；如果门关着，则的的概率为0.3。
• 我们称为prior knowledge，是对的概率的先验知识。例如在图2的例子中，可设门开或关的概率各占.
• 是基于观测对状态的诊断或推断。贝叶斯公式的本质就是利用causal knowledge和prior knowledge来进行状态推断或推理。

例1:：

在图2所示的例子中，机器人根据观测的到门的距离，估算门开或关的概率，若测量到门的距离为，则可用条件概率描述门开着的概率：

     

图 2.机器人根据观测计算门开或关的概率

 

2.2 贝叶斯公式的计算

可以看到贝叶斯公式的分母项，同无关，所以可以把它作为归一化系数看待：

所以基于causal knowledge和prior knowledge进行条件概率计算的过程如下：

Algorithm:

 

2.3 贝叶斯公式中融合多种观测

在很多应用问题中，我们会用多种观测信息对一个状态进行猜测和推理，贝叶斯公式中是如何融合多种观测的呢？

我们简单推导一下：

所以有：

 

2.4 贝叶斯递推公式

由此，我们来推导贝叶斯滤波的递推公式：

我们把看做，把看做，代入上面的公式：

再由Markov属性，在已知的情况下，同无关，所以：

从而我们得到贝叶斯的递推公式：

例2：在例1的基础上，如果机器人第二次测量到门的距离仍然为0.5米， 计算门开着的概率。

所以，第二次z=0.5m的观测增大了对门开着的概率的置信程度。

 

(三). 如何融入动作？

在实际问题中，对象总是处在一个动态变化的环境中，例如：

1. 机器人自身的动作影响了环境状态
2. 其它对象，比如人的动作影响了环境状态
3. 或者就是简单的环境状态随着时间发生了变化。

如何在Bayes模型中来描述动作的影响呢?

1. 首先，动作所带来的影响也总是具有不确定性的
2. 其次，相比于观测，动作一般会使得对象的状态更为模糊（或更不确定）。

 

我们用来描述动作，在状态下，执行了动作之后，对象状态改变为的概率表述为：

 

动作对状态的影响一般由状态转移模型来描述。如图3所示，表示了“关门”这个动作对状态影响的转移模型。这个状态转移模型表示：关门这个动作有0.1的失败概率，所以当门是open状态时，执行“关门”动作，门有0.9的概率转为closed状态，有0.1的概率保持在open状态。门是closed的状态下，执行“关门”动作，门仍然是关着的。

图3. “关门”动作的状态转移模型

 

执行某一动作后，计算动作后的状态概率，需要考虑动作之前的各种状态情况，把所有情况用全概率公式计算：

• 连续情况下：

• 离散情况下：

例3：在例2的基础上，如果按照图3所示的状态转移关系，机器人执行了一次关门动作， 计算动作后门开着的概率？

所以，执行一次关门动作后，门开着的概率变为了0.08.

 

(四). 贝叶斯滤波算法

4.1 算法设定

由上述推导和示例，我们可以给出贝叶斯滤波的算法，算法的输入输出设定如下。

1. 系统输入
   1. 1到时刻的状态观测和动作：
   2. 观测模型：
   3. 动作的状态转移模型：
   4. 系统状态的先验概率分布.
2. 期望输出
   1. 计算状态的后延概率，称为状态的置信概率：

 

4.2 算法基本假设

贝叶斯滤波的基本假设：

        1. Markov性假设: 时刻的状态由时刻的状态和时刻的动作决定。时刻的观测仅同时刻的状态相关，如图4所示：

图4. Markov模型

       2. 静态环境，即对象周边的环境假设是不变的

       3. 观测噪声、模型噪声等是相互独立的

4.3 Bayes滤波算法

基于上述设定和假设，我们给出贝叶斯滤波算法的推导过程：

其中第一步采用贝叶斯公式展开，第二步使用Markov性质(仅由决定)；第三步使用全概率公式对进行展开；第四步继续使用Markov性质(仅由和决定)；第五步继续使用Markov性质，因为同无关，最终得到的递推公式。

可见递推公式中分为两个步骤，部分是基于预测的状态；部分是基于观测更新状态.

4.3 Bayes滤波算法流程

所以，Bayes滤波的算法流程图如图5所示。如果是观测，则进行一次状态更新，如果是动作，则进行一次状态预测。

图5. Bayes滤波的算法流程

我们看到，在进行状态预测时，需要对所有可能的状态进行遍历，使得基本的Bayes模型在计算上成本是较高的。

4.3 Bayes滤波算法的应用

Bayes滤波方法是很多实用算法的基础，例如：

• Kalman滤波
• 扩展Kalman滤波
• 信息滤波
• 粒子滤波

虽然Kalman滤波器已经被广泛使用，也有很多的教程，但我们在Bayes滤波器的框架上，来深入理解Kalman滤波器的设计，对理解采用Gaussian模型来近似状态分布的多高斯滤波器(Guassian Multi-Hyperthesis-Filter)等都有帮助。

一. 背景知识回顾

1.1 Bayes滤波

首先回顾一下Bayes滤波. Bayes滤波分为两步：1.状态预测；和 2.状态更新

1. 状态预测，基于状态转移模型：

2. 状态更新，基于新的观测

我们可以看到，我们的目的是计算的后验概率，如果是任意分布，我们需要在的所有可能取值点上，计算该取值的概率，这在计算上是难于实现的。这一计算问题可以有多种方法来近似，比如利用采样的方法，就是后面要讲的粒子滤波和无迹Kalman滤波。

这节要说的近似方法是，当假设服从Gauss分布，那么我们只需要分布的均值和方差就可以完全描述，而无需在的每个可能取值点上进行概率计算。这也是用高斯分布来近似的好处，因为我们在每一个时刻，只需要计算均值和方差这两个数值，就可以对完全描述，所以我们就可以推导出这两个数值的递推公式，从而在每个时刻由这两个数值的递推公式完全获得状态估计，这就是The Kalman Filter的基本思想。

1.2 正态分布(Guassian Distribution)

然后我们再回顾一下正态分布的基础知识。正态分布是一种特殊的概率分布，分布的形态完全由二阶矩决定。一元高斯分布表述如下：

其中，一阶矩为均值表示期望值，二阶矩为方差表示分布的不确定程度。

多元高斯分布的表达式为：

同样，一阶矩为表示各元变量的期望值，二阶矩为方差矩阵表示各元变量的不确定程度。

1.3 正态分布的特点

在线性变换下，一旦高斯，代代高斯。

首先，高斯变量线性变换后，仍为高斯分布，均值和方差如下：

然后，两个高斯变量线性组合，仍为高斯分布，均值和方差如下：

最后，两个相互独立的高斯变量的乘积，仍然为高斯分布，均值和方差如下：

正因为高斯分布有这些特点，所以，在Bayes滤波公式中的随机变量的加法、乘法，可以用解析的公式计算均值和方差，这使得Bayes滤波的整个计算过程非常简便，即Kalman滤波器的迭代过程。

二. Kalman滤波

2.1 Kalman滤波的模型假设

Kalman滤波所解决的问题，是对一个动态变化的系统的状态跟踪的问题，基本的模型假设包括：1）系统的状态方程是线性的；2）观测方程是线性的；3）过程噪声符合零均值高斯分布；4）观测噪声符合零均值高斯分布；从而，一直在线性变化的空间中操作高斯分布，状态的概率密度符合高斯分布。

1. 状态方程
   
2. 观测方程
   

其中过程噪声假设符合零均值高斯分布；观测噪声假设符合零均值高斯分布。对于上述模型，我们可以用如下参数描述整个问题：

2.2 Kalman滤波器的模型

1. ，维向量，表示时刻观测状态的均值。
2. ，方差矩阵，表示时刻被观测的个状态的方差。
3. ，维向量，表示时刻的输入
4. ，维向量，表示时刻的观测
5. ，矩阵，表示状态从到在没有输入影响时转移方式
6. ，矩阵，表示如何影响
7. ，矩阵，表示状态如何被转换为观测
8. ，矩阵，表示过程噪声的方差矩阵
9. ，矩阵，表示观测噪声的方差矩阵

图1. 在没有观测情况下，系统状态的从到的转移方式

图1给出了在没有观测，仅有输入时，状态变量的均值和方差从到的转移方式，可见均值和方差的计算，完全是基于高斯分布的线性变化的方法来算的。

图2. Kalman 滤波解决在收到t时刻的输入和观测的情况下，更新状态的问题

图2给出了Kalman滤波所解决的问题，即在获得t时刻的输入和观测的情况下，如何更新的均值和方差的问题。当然和也并不是每一个时刻都需要同时获得，就像贝叶斯滤波一样，可以在获得时就做一次状态预测，在获得时做一次状态更新。

2.3 Kalman滤波算法

Kalman滤波整体算法如下：

Kalman Filter () Prediction Correction

• 第一行基于转移矩阵和控制输入，预测时刻的状态
• 第二行是预测方差矩阵
• 第三行计算Kalman增益，K_t
• 第四行基于观测的新息进行状态更新
• 第五行计算更新状态的方差矩阵。

可以看到算法的所有的精妙之处都在于第三行和第四行。我们可以这样来理解：

1.    代表对状态进行观测时，观测的不确定程度，它与Kalman增益K_t成反比，表示观测的可能噪声越大的时候，Kalman增益K_t越小。
2. 再看第四行，的更新是在上加一个  乘以 。代表的是预测的值与观测之间的差异，这个差异当预测和观测都比较接近于真实值时比较小。当观测不准，或者预测不准时都会比较大。而前面的乘子K_t是在观测噪声大的时候比较小，所以整个这个修正量，表示利用观测对预测结果的修正量。
   • 当观测噪声比较小，预测误差比较大时修正幅度比较大
   • 当观测噪声比较小预测误差比较小的时候，或者观测噪声比较大的时候，修正误差的幅度也比较小，从而起到了一种平滑的作用。
3. 利用较准确的观测修正预测误差，不准确的观测修正量也较小，所以在误差较大的时候能快速修正，而在误差较小时能逐渐收敛。

2.4 Kalman滤波算法的推导

这里我们用Bayes公式，给出Kalman Filter是如何导出的。

1. 系统的初始状态是：

2. 预测过程的推导

状态转移模型是线性函数

所以，由到状态转移的条件概率为:

回顾Bayes公式，计算预测状态的分布，需要考虑所有可能的：

这正是计算两个高斯分布的卷积的过程，参考文献[2]：

所以Kalman滤波器的预测过程，正是基于两个高斯分布的卷积计算得到的解析表达式。

3. 观测更新过程的推导

观测方程也是线性方程，并且噪声是高斯噪声

所以的条件概率是高斯分布的线性变换计算：

再考虑贝叶斯公式的状态更新步骤

这正是两个高斯分布的乘积的问题，参考文献[2]

所以，基于求高斯变量乘积的分布的方法，可以导出结果仍然是高斯分布，用它的二阶矩表示：

所以状态更新中的Kalman增益，均值和方差的更新公式，都是这样导出的。

 

2.5 Kalman滤波算法的举例

图3和图4通过一维高斯分布的例子，给出在预测和更新过程中状态变量的概率密度分布是如何变化的。

图3. 预测过程的举例，蓝色曲线表示的pdf，紫色曲线表示的pdf.

 

图4. 更新过程举例，紫色为预测后的pdf, 黄色为更新后的pdf，青色为观测的结果

从这个例子中可以值得注意的是，在预测部分高斯分布的卷积一般会使状态估计的方差加大；在观测部分高斯分布的乘积一般会将估计的方差收窄。

 

2.6 Kalman滤波的代码实现

Kalman滤波算法可以非常方便的用矩阵计算方法实现，其迭代更新过程的Matlab实现的代码仅有如下几行：

 

2.7 Kalman滤波的效果示例

通过实现一个简单的Kalman滤波器，我们可以直观的看一下Kalman滤波器的提高跟踪准确性的效果。

图5. Kalman滤波器的实验效果示例，其中红色实线是真值；蓝色点是观测；绿色线是滑动平均的结果；紫色曲线是Kalman滤波的结果。

图6. 比较Kalman滤波的跟踪结果和滑动平均的跟踪结果

 

图6给出了直观的跟踪结果与真实值之间的最小二乘误差的比较，课件Kalman滤波算法相比滑动平均等，提供了更高的跟踪准确性。

 

2.8 Kalman滤波的算法特点

1. Kalman滤波计算快速，计算复杂度为，其中是观测的维数；是状态的个数。
2. 对于线性系统，零均值高斯噪声的系统，Kalman是理论上无偏的，最优滤波器。
3. Kalman滤波在实际使用中，要注意参数和的调节，这两者实际上是相对的，表示更相信观测还是更相信预测。具体使用时，可以根据过程噪声的幅度决定，然后可以相对来给定。当更相信观测时，把调小，不相信观测时，把调大。
4. 越大，表示越不相信观测，这是系统状态越容易收敛，对观测的变化响应越慢。越小，表示越相信观测，这时对观测的变化响应快，但是越不容易收敛。

参考文献

[1]. Sebastian Thrun, Wolfram Burgard, Dieter Fox, Probabilistic Robotics, 2002, The MIT Press.

[2]. P.A. Bromiley, Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions, University of Manchester