“芝诺悖论”

“芝诺悖论”是由古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论的统称。与其他学者不同，芝诺更善于从反面看待事物，而非直接证明。后人也称其为辩证法的创始人。
芝诺提出的悖论，都是与现实差异较大但又没办法解释清楚。有人说他是在诡辩，但也无法说出原理。很多悖论都隐含着很多物理学、微积分的思想，值得思考。

在这些悖论中，其中“阿基利斯与乌龟赛跑”就是一个十分典型的例子。

1.阿基利斯和乌龟赛跑，假设起点为A，终点为B。
2.乌龟先出发一段时间，到达某点C后，阿基利斯才开始出发。
3.等到阿基利斯到达C点后，乌龟就到了D点。因为两人都不会休息，都在往终点跑，只是速度有差异而已。
4.以此类推，乌龟总会前进一点，哪怕是0.000001米，阿基利斯永远比乌龟晚到某个点，那么得出结论：速度慢的物体，只要先出发，就会永远超过速度快但晚出发的物体。

这个故事看到一半，其实大家就忍不住要发表看法来推翻这个悖论了。阿基利斯速度比乌龟快，即使晚出发，也会在某个时刻追赶上乌龟的。事实虽然是这样，但如何用严谨的逻辑证明呢？

在这个例子中，芝诺强调了两点。一是跑得慢的乌龟每次都会前进，哪怕0.0000001。二是阿基利斯每次都会比乌龟晚到某个地点。

芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基利斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。