基于参数方程的三次样条插值

Comparative Analysis

1.基于基于三次样条插值的路径生成方法，在$x_i$xi​非递增状态下时，三次样条插值法产生的曲线在实际应用中会产生缺陷。如下图所示，在第一次$x_i$xi​由递增状态变成递减，曲线走向不符合实际车辆的全局规划路径。

2.基于PythonRobotics中参数方程的三次样条插值，完美解决这个问题。如下图。

Detailed Introduction

1.参数方程的定义
一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x和y$x和y都是某一个变数$t$t的函数$\begin{cases} x=f(t)\ \\y=g(t)\end{cases}${x=f(t) y=g(t)​并且对于$t$t的每一个允许值，由这个方程所确定的$M(x,y)$M(x,y)都在这条曲线上。那么这个方程组就叫做参数方程。
2.具体构想
给定一连串数据点：
$\begin{cases} x=[x_0,x_1,x_2,...,x_n]\ \\y=[y_0,y_1,y_2,...,y_n]\end{cases}${x=[x0​,x1​,x2​,...,xn​] y=[y0​,y1​,y2​,...,yn​]​
在三次样条插值的原理上，分别计算临近两点之间的距离，并依次相加，得到每一点距离$x_0$x0​按照折线并依次经过所有点的距离$l=[l_0=0,l_1,l_2,...l_n]$l=[l0​=0,l1​,l2​,...ln​]。将此距离按照一定的间距等距分割，作为参数方程的因变量$t$t。然后按照三次样条插值的原理分别进行计算$\begin{cases} x=f(t)\ \\y=g(t)\end{cases}${x=f(t) y=g(t)​，每一个点都在得到的曲线上。
3.在实际车辆轨迹规划中，还需要知道各个路径的曲率和航向角。曲率计算公式根据参数方程的曲率公式进行计算。航向角就根据每一个点的一次导数进行三角$tan$tan函数进行计算。



4.等距离撒点：基于普通方程的三次样条插值，等距是指绝对的$x$x坐标等距；基于参数方程的三次样条插值，等距是指在点集的折线上等距。