基于传染病引发的概率问题(独立概率和条件概率)
概要:
昨天工作群发了一个关于传染病的感染感染概率问题,整个群都炸了,策划,后端,前端,测试各自用自己的思维尝试给这个问题一个正确的答案。当然了,我也加入其中了,不过结果却,emmm,让我开始怀疑自己是不是不太适合做一个程序员。
问题:
讨论结果:
最终讨论结果我觉看起来比较靠谱的大概有两个:
-
52.734375%
计算思路
-
50%
计算思路
我们最后在讨论究竟哪个才是正确答案,我们想要解决这个问题就一定要了解概率的一些基本概念,下面简单介绍一下概率的一些需要了解的一些东西。
概率
定义
概率,亦称“或然率”,它是反映随机事件出现的可能性(likelihood)大小。随机事件是指在相同条件下,可能出现也可能不出现的事件。例如,从一批有正品和次品的商品中,随意抽取一件,“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察,其中A事件出现了m次,即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验,常有m/n越来越接近于某个确定的常数(此论断证明详见伯努利大数定律)。该常数即为事件A出现的概率,常用P (A) 表示。
概率论中独立事件的讨论
开始之前,我们要明确描述一个问题的概率问题时,必须准确把握这个"样本空间",概率书上一般称这个为所有可能的结果构成的集合为"样本空间"。如果甲在描述的一个问题的样本空间为A,它基于这个A的出一个概率,而乙在另外一个不同的样本空间B中得出一个概率,那么讨论和的关系需要谨慎,要不然就是驴唇不对马嘴。
1. 条件概率
学习条件概率的时候会碰到下面的条件概率公式:
这个式子的意思就是F事件发生的条件下,E事件发生的概率。从字面上,主观的感受觉这个是很容易被理解的一个公式。要深刻理解这个条件公式概率的话,是需要深刻理解这里面讨论概率问题时"样本空间"的切换。用“维恩图”来理解更容易掌握实质:
,即条件概率P(E|F)等于红色部分面积(EF相交部分面积)除以F事件面积(绿色+红色面积)
也就是说求时候的样本空间是以F事件的样本空间为参考的,这与
(即F事件面积除以A原始样本空间面积)。
也就是说和
两个概率所参考的样本空间完全不一样:
是基于原始样本空间A,
是基于新的样本空间F。
2. 事件独立
定义:对于事件E和事件F,如果满足下面的公式,那么称它们是独立的。若两个事件E和F不独立,则称它们是相依的,或者相互不独立。
因此如果事件E和事件F独立,那么肯定满足下满的式子:
观察上面的维恩图,可知:
这也就说明了事件F的样本空间对事件E样本空间的切割后这部分(即形成维恩图中红色部分空间)在F中的比例和事件E在原来总体样本空间A中的比例是一致的,实际上这种"同比例切割"的特性,是确定F与E是否独立的一个标志,如果F事件样本空间同比例切割E事件空间,那么E和F就是独立的。这样子的描述和"F事件的发生并不影响E发生的概率,那么E和F就是独立的", 事实上这样子的描述在主观上有时候不是特别容易判断的。用"同比例切割"有时候更容易判断两个事件是否是独立的。相反的,不能同比例切割的话,那可以判断E和F是不独立的。
利用这个结论,观察上面这个维恩图,它告诉我们,E和F事件没有相交的部分,按照"同比例切割"的观点,F事件和E事件是"不独立"的! 当然也可以利用是否满足公式方式去验证独立性。 这个图告诉我们:
两个不相交的事件,反而是"相互不独立"的。除了一种情况,事件E不可能出现,也就是P(E)=0。
这给我们一种新的认识:世界上两个没有任何交集的人,却相互不独立。除非你不存在。
造成这种错觉的原因是,讨论问题的角度不一样,相交讨论的是两个事件的集合,而"独立性"与否讨论的是比例(也就是概率)的问题。另外,概率论中的"独立"都是特别针对概率值的影响的,而人的独立性讨论的是人格特征。概率论中只是借用了"独立"这个词,概念上被赋予了严格的数学意义。
例1. 从一副洗好的52张扑克牌里随机抽取一张牌,令E表示事件"抽取的牌为一张A",令F表示事件"抽取的牌为一张黑桃",那么E和F就是独立的。因为P(EF)=1/52,而P(E)=4/52且P(F)=13/52。
这个例子也可以用"同比例分割"的方法来判断。原始样本空间大小为52,事件E空间大小有4(因为有4张牌A),因此事件E在原来空间中的分割比例时4/52。 相交事件EF样本空间(既是牌A又是黑桃)1,事件F的样本空间很明显是13(因为有13张黑桃),因此,EF在F中的分割比例为1/13。4/52=1/13,因此是独立的。
例2. 掷两枚均匀的骰子,令表示事件"骰子点数和为6",令F表示事件"第一枚骰子点数为4",那么
而
因此,和F不独立。也可以用"同比例分割"法。E1F相交事件在F中分割的比例为1/6,而E1事件在原来空间的比例是5/36。
例2, 如果令表示事件"骰子点数和为7",那么F和是独立的。请自证。
需要强调的是,两个事件独立并不代表两个事件之间没有影响,影响这个词太笼统了,因为,影响这个词没有说具体什么影响。而概率论中,事件之间是否独立,它强调的是事件F的出现与否对事件E原来发生的概率是否有影响!它明确了影响什么!即便事件F对事件E产生其他影响,只要不影响E的概率,那就是"独立"!
结果
最终结果是:d被感染的概率是50%
讨论结果一错误的原因是:
当bc互相握手后,b和c感染的概率都是62.5%(50%的概率是bc全都感染,12.5%的概率是bc只感染一个),此时62.5%中的50%和12.5%的采样空间是不一致的,必须分来计算与d握手时,d被感染的概率。
所以讨论结果一的第三步是错的。
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