深度学习基础 - 三角函数

深度学习基础 - 三角函数

邵盛松

图片自己绘制和引用wiki
谁的方法
欧拉将圆的半径为1，将三角放在单位圆中。赞叹他的方法吧。
谁引进的弧度
读《古今数学思想》第二卷中知道
欧拉，1748年他在关于木星和土星运动中的不等式中给出了三角函数的系统处理。又是他1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度。
三角函数是他，弧度也是他。
牛顿和莱布尼茨给出了三角函数的级数展开式。
三角函数是周期函数，天文现象大都也是周期的。所以那时欧拉就用数学解决天文。

咱的正弦是怎么来的
读《数学史概论》作者:霍华德·伊夫斯 (Howard Eves)知道
1631年邓玉涵、汤若望、徐光启写的《大测》书中，将sinus译成正半弦或前半弦，简称正弦
源头在哪
在查找三角函数的知识时，通常会找wiki，搜索Trigonometric functions
三角学之英文名称 Trigonometry ，
名字约定就这么叫是在公元1600年，实际源于希腊文trigono (三角) 和 metrein (测量)，
其原来的意思是三角形测量（解法）
哲学的英文是Philosophy,而这个单词又是来自希腊文,是由philia 和 sophia组成，意思是爱智慧。
看，最后又是到希腊。
正题
三角形

$\sin A=\frac{\text { opposite（对边） }}{\text { hypotenuse （斜边）}}$sinA= hypotenuse （斜边） opposite（对边） ​

$\cos A=\frac{\text { adjacent（邻边） }}{\text { hypotenuse（斜边） }}$cosA= hypotenuse（斜边）  adjacent（邻边） ​

$\tan A=\frac{\text { opposite（对边） }}{\text { adjacent（邻边） }}$tanA= adjacent（邻边）  opposite（对边） ​
重要的也就这三个

怎样算一些特殊角的三角函数值是多少？
已知：三角形内角和为$180^{\circ}$180∘
如何算$30^{\circ}和60^{\circ}$30∘和60∘
需要利用勾股定理计算
先画一个等边三角形如图

这时候取一半

结果如下
$\begin{aligned} \sin 30^{\circ} &=\frac{\operatorname{opposite}}{\operatorname{hypotenuse }}=\frac{1}{2} \\ \cos 30^{\circ} &=\frac{\operatorname{adjacent} j}{\operatorname{hypotenuse }}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 30^{\circ} &=\frac{\operatorname{opposite}}{\operatorname{adjacent}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}$sin30∘cos30∘tan30∘​=hypotenuseopposite​=21​=hypotenuseadjacentj​=23​​=adjacentopposite​=3​1​​
如何算$45^{\circ}$45∘

结果如下
$\begin{aligned} \sin 45^{\circ} &=\frac{\operatorname{opposite}}{\operatorname{hypotenuse }}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos 45^{\circ} &=\frac{\operatorname{adjacent}}{\operatorname{hypotenuse }}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan 45^{\circ} &=\frac{\operatorname{opposite}}{\operatorname{adjacent}}=\frac{1}{1}=1 \end{aligned}$sin45∘cos45∘tan45∘​=hypotenuseopposite​=2​1​=hypotenuseadjacent​=2​1​=adjacentopposite​=11​=1​
那么$cos180^{\circ}$cos180∘是多少？

我们把半径为1的圆，叫单位圆
根据勾股定理
$\cos ^{2}(\theta)+\sin ^{2}(\theta)=1$cos2(θ)+sin2(θ)=1
$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$tanθ=cosθsinθ​

当把任意三角形放在直角坐标系里，再加上单位圆，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）就变成了单位圆上点的坐标，大于360度 也就是至少转了一周，孙悟空是逃不出如来佛五指山，还是单位圆上坐标。

看图找坐标$180^{\circ}$180∘在x轴的负轴上，然后根据谁比谁，邻边比斜边就行 ，$cos180^{\circ}=-1$cos180∘=−1。有了单位圆就变得好理解了。

弧度与角度
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
换算公式
$2 \pi=360^{\circ}, 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}, 1=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.3^{\circ}$2π=360∘,1∘=180π​,1=(π180​)∘≈57.3∘
180度，为什么三角形是180度呢？
看图的证明（引用自wiki）

先说360度的事
首先从圆开始，圆的360度哪来不知道就猜。前人粗略估计天体运行规律一年划分为360天，将圆分成360份，每一份就是一度，平角就是180度。三角形的内角等于平角。那印度人还把圆周分成360×60=21600份呢！任何人都可以将圆分成任意等份。
喜帕恰斯（Hipparchus）汇编了一部自公元前8世纪在巴比伦观测到的月食总表，他采用了巴比伦的60进制书写数字，并且将黄道圈和其他的圆划分为360度。这是在迈克尔·霍斯金写的《牛津通识读本：天文学简史（中文版）》 这本书看到的。
喜帕恰斯的译名汉语里各有各的叫法。希巴恰斯、希巴克斯、依巴谷、伊巴谷等都是他的译名。
喜帕恰斯的成果在《天文学大成（Almagest）》里面记述的。有的人把这本书翻译成《至大论》，这本书是希腊天文学家托勒密(Ptolemy)编纂的天文学和数学百科全书
地心说是由经亚里士多德、托勒密他们逐渐完善起来的。托勒密认为，地球处于宇宙中心静止不动。想看看地心说流行的时代的人们是怎么思考的？
《天文学大成》我没有找到中译本，找到了《Almagest》英文版要100多US dollar。

再说180度的事
文献有记载吗？
《几何原本》
欧几里得的《几何原本》是作为当时讲解柏拉图学派必要的数学内容，作为哲学研究的预备知识。
公设是这个单词postulate，意思假定；要求；视…为理所当然
从人们的经验中总结出的几何常识事实。

公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交

这个第五公设是平行公理里的原始等价命题
例如
三角形内角和为两直角。
所有三角形的内角和都相等。
。
例如同样是读《几何原本》。那有人认为这不是常识。
罗巴切夫斯基认为不是这样，就有了罗氏几何（双曲几何）三角形的内角和小于一个平角（180°）
黎曼认为不是这样，就有了黎曼几何三角形的内角和大于180度。
陈省身认为不是这样，就有了微分几何。
同样是读书，高手提出了自己的见解，也就是《孟子·尽心下》里说的：尽信《书》，则不如无《书》。