动手学PyTorch | (33) 通过时间反向传播
在前⾯两节中，如果不裁剪梯度，模型将⽆法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经⽹络中梯度的计算和存储⽅法，即通过时间反向传播(back-propagation through time)。
我们在(正向传播、反向传播和计算图)中介绍了神经⽹络中梯度计算与存储的⼀般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经⽹络中⽐较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经⽹络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应⽤反向传播计算并存储梯度。
目录
1. 定义模型
简单起见，我们考虑⼀个⽆偏差项的循环神经网络，且**函数为恒等映射.设时间步t的输⼊为单样本
,标签为
,那么隐藏状态
的计算表达式为：
其中是隐藏层权????重参数。设输出层权????重参数
,时间步t的输出层变量
的计算为：
设时间步t的损失为 .时间步数为T的损失函数L定义为：
我们将L称为有关给定时间步的数据样本的⽬标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。
2. 模型计算图
为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如下图所示。例如，时间步3的隐藏状态的计算依赖模型参数
、上⼀时间步隐藏状态
以及当前时间步输⼊
.
3. 方法
刚刚提到，上图中的模型的参数是.与(正向传播、反向传播和计算图) 中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度
.根据上图中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述⽅便，我们依然采⽤表达链式法则的运算符prod。
⾸先，⽬标函数有关各时间步输出层变量的梯度很容易计算:
下面，我们可以计算目标函数有关模型参数的梯度
.根据上图，L通过
依赖
。依据链式法则：
其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。 在上图中，L只通过依赖最终时间步T的隐藏状态
.因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度
.依据链式法则，我们得到：
接下来对于时间步,在上图中，L通过
和
依赖
。依据链式法则， ⽬标函数有关时间步
的隐藏状态的梯度
需要按照时间步从⼤到小依次计算:
将上面的递归公式展开，对任意时间步,我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式：
由上式中的指数项可见，当时间步数T较大或者时间步t较⼩时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度
，
。在上图中，L通过
依赖这些模型参数。 依据链式法则，我们有:
我们已在之前的内容里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从⽽避免????复计算。例如，由于隐藏状态梯度被计算和存储，之后的模型参数梯度
，
的计算可以直接读取
的值，⽽⽆须????重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。 举例来说，参数梯度
的计算需要依赖隐藏状态在时间步
的当前值
（
是初始化得到的）。这些值是通过从输⼊层到输出层的正向传播计算并存储得到的（缓存正向传播的中间结果，可以方便反向传播的计算）。
4. 小结
1）通过时间反向传播是反向传播在循环神经⽹络中的具体应用。
2）当总的时间步数T较⼤或者当前时间步t较小时（网络初期），循环神经⽹络的梯度较容易出现衰减或爆炸。