B站吴恩达机器学习视频笔记（8）——梯度下降
前言
啊，这个吴恩达老师讲这个梯度下降的方式有点吓人，又掏公式又弄三维坐标系的，其实梯度下降没有看上去那么难，视频中讲的比较专业，虽然努努力还是可以理解的，但是相对于萌新来说不太友好，有的同学可能一看这么多公式就放弃了。不过不要紧嘛，我也是萌新嘛，我给你们解释你们不就懂的容易了，萌新何必为难萌新呢。不过我还是会把吴恩达老师讲的内容放到文章最后，你们先看简单的，再看比较难的，就会很开心。
梯度下降零公式易懂版本
刚接触机器学习的同学避不开的一个专业名词就是梯度下降。顿时心里万马奔腾，其实很简单的，你先得理解概念才能看到那些公式不怂。
我们上来就要整点实际的：1. 梯度到底是啥？2. 梯度下降有啥用？3. 为啥要下降？
梯度是个啥
其实“梯度”你替换成“导数”就可以了，梯度就是目标函数的导数。以后你在书上遇到这个词就替换成“导数”就容易理解多了。
梯度下降有啥用
用问题一的解决方案，替换“梯度”为“导数”。问题变成了：导数下降干嘛的？我暂时把答案写上稍后解释：梯度下降就是用来求某个函数最小值时自变量对应取值。这个函数名字叫做损失函数（cost/loss function），直白点就是误差函数（我在上一篇文章里已经讲过，如果你忘了，没关系，在这里我会再讲一遍）。一个算法不同参数会产生不同拟合曲线，也意味着有不同的误差。损失函数就是一个自变量为算法的参数，函数值为误差值的函数。梯度下降就是找让误差值最小时候算法取的参数。
[敲黑板，忘记的同学我再讲一遍啊]那么什么是损失函数（误差函数）？
机器学习算法中有一类算法就是产生一条曲线来拟合现有的数据，这样子就可以实现预测未来的数据，这个专业术语叫做回归（见到回归就替换成拟合就好了）。还有另外一种类似也是产生一条曲线，但是这个曲线时用来将点分隔成两块，实现分类，在这个曲线一侧为一类另外一侧算一类。但是我怎么知道这个算法产生的拟合曲线效果好不好呢？这个东东叫做误差，预测值减去真实值最后取绝对值，没错就是这么简单粗暴~~
产生的拟合曲线并不是完全和现有的点重合，拟合曲线和真实值之间有一个误差。一个算法不同参数会产生不同拟合曲线，也意味着有不同的误差。损失函数就是一个自变量为算法的参数，函数值为误差值的函数。梯度下降就是找让误差值最小时候这个算法对应的参数。
梯度为啥要下降
翻译问题。按照问题一的解决方法可知：我们将“梯度为啥要下降？”这个问题翻译为：找误差函数最小值所对应的自变量，为啥要让导数的绝对值变小。我们看下图这个二次函数对应曲线就是误差函数（也就是损失函数，一般是叫损失函数，误差函数是我为了好理解说的），自变量是算法的参数，函数值是该参数下所产生拟合曲线与真实值之间的误差值。注意了，注意了，注意了：一般你看到梯度下降的公式最好想到下面这个图，对就假设误差函数就这么特殊，都是开口朝上，都是平滑的，都是只有一个导数为0的点，都是弯一下而不是弯很多下。
平常我们怎么求损失函数（误差函数）最小值？☞我们目标是求这个损失函数（误差函数）最小值时候对应自变量的值，也就是求曲线最低点自变量x的取值。用高中知识怎求最小值？老师说了求最值不要怂，上来求个导，然后让导函数为0时候取最值。告诉你还真就可以这么干的，简单粗暴。不过这个方法不是梯度下降，它有个很高端大气上档次的名字叫做正规方程（Normal Equation），吓到了吧这么简单的原理居然名字这么高端，所以嘛梯度下降也差不多就名字吓人而已。但是为啥这么简单粗暴容易理解，为啥还要用梯度下降呢？因为一般来说越简单粗暴的方法效率越低~，正规方程在数据量大时候太慢了，就像冒泡排序那么简单为啥排序算法一般不用冒泡排序一样。敲重点了：梯度下降和这个原理类似见下面
梯度下降怎么求损失函数（误差函数）最小值？☞假如你拿着手机地图不用导航去找一个目的地怎么走？我一般是往某个方向走一段路程，然后发现好像离目的地近了，然后产生一个想法“这个方向能使得我离目的地距离更小”，然后我继续沿着这个方向走。（你就会疑问该不会梯度下降就这么做的吧，没错就是这么做的）。
按照那个图的特点，假设这个图放大1万倍，大到你不能一眼看到最小值。那么要你找最小值对应的自变量x，你怎么找？？记住我们目的是为了找自变量x,记住我们目的是为了找x
你将可能会在电脑屏幕看到原先那个图的局部，按照它们单调性来分主要有这三种情况
- 当你遇到情况1：单调下降，导数为负（梯度为负），要想找到函数的最小值所对应的自变量的值（曲线最低点对应x的值）怎么走？当然是水平向右滑啦，也就是让x增大，此时随着x增大，导数（梯度）的绝对值是减小的（梯度下降含义懂了吧哈哈就这个意思）
- 当你遇到情况2：单调上升，导数为正（梯度为正），要想找到函数的自变量的值（曲线最低点对应x的值）怎么走？当然是水平向左滑啦，也就是让x减小，此时随着x减小，导数（梯度）的绝对值是减小的（也就是梯度下降）。
- 情况3其实就是情况1和情况2的综合
综上所述：
- 梯度就是导数
- 梯度下降作用是找到函数的最小值所对应的自变量的值（曲线最低点对应x的值）。记住我们目的是为了找x.
- 梯度下降含义（具体操作）是：改变x的值使得导数的绝对值变小，当导数小于0时候（情况1），我们要让目前x值大一点点，再看它导数值。当导数大于0时候（情况2），我们要让目前x值减小一点点，再看它导数值。当导数接近0时候，我们就得到想要的自变量x了。也就是说找到这个算法最佳参数，使得拟合曲线与真实值误差最小。（理解这段话，就不用硬背公式啦）
这是吴恩达老师对于梯度下降的解释，可能会难懂一些，但是真的理解这些图和公式之后，理解梯度下降才更透彻一些
梯度下降法可以做什么？
在你测试集上，通过最小化代价函数（成本函数） J(w,b) 来训练的参数w和b
如图，在第二行给出和之前一样的逻辑回归算法的代价函数（成本函数）(上一篇文章已讲过）
梯度下降法的形象化说明
在这个图中，横轴表示你的空间参数w 和 b ，在实践中，w可以是更高的维度，但是为了更好地绘图，我们定义 w 和b，都是单一实数，代价函数（成本函数）J(w,b)是在水平轴w和b上的曲面，因此曲面的高度就是 J(w,b)在某一点的函数值。我们所做的就是找到使得代价函数（成本函数）J(w,b)函数值是最小值，对应的参数w 和b 。
如图，代价函数（成本函数） J(w,b) 是一个凸函数(convex function)，像一个大碗一样。
如图，这就与刚才的图有些相反，因为它是非凸的并且有很多不同的局部最小值。由于逻辑回归的代价函数（成本函数) J(w,b) 特性，我们必须定义代价函数（成本函数） J(w,b) 为凸函数。 初始化w和b
可以用如图那个小红点来初始化参数w和b ，也可以采用随机初始化的方法，对于逻辑回归几乎所有的初始化方法都有效，因为函数是凸函数，无论在哪里初始化，应该达到同一点或大致相同的点。
我们以如图的小红点的坐标来初始化参数w和 b。
朝最陡的下坡方向走一步，不断地迭代
我们朝最陡的下坡方向走一步，如图，走到了如图中第二个小红点处。
我们可能停在这里也有可能继续朝最陡的下坡方向再走一步，如图，经过两次迭代走到第三个小红点处。
直到走到全局最优解或者接近全局最优解的地方
通过以上的三个步骤我们可以找到全局最优解，也就是代价函数（成本函数） 这个凸函数的最小值点。
梯度下降法的细节化说明（仅有一个参数）
(这是一个二维的，较好理解些）
假定代价函数（成本函数）J（w）只有一个参数w，即用一维曲线代替多维曲线，这样可以更好画出图像。
迭代就是不断重复做如图的公式:
:=表示更新参数,
a 表示学习率（learning rate），用来控制步长（step），即向下走一步的长度
就是函数J(w)对 w求导（derivative），在代码中我们会使用dw表示这个结果
对于导数更加形象化的理解就是斜率（slope），如图该点的导数就是这个点相切于J(w)的小三角形的高除宽。假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是正的，即
所以接下来会向左走一步。
整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向左走，直至逼近最小值点。
假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是负的，即
所以接下来会向右走一步。
整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向右走，即朝着最小值点方向走。
梯度下降法的细节化说明（两个参数）
逻辑回归的代价函数（成本函数）J(w,b) 是含有两个参数的。
δ表示求偏导符号，可以读作round
就是函数J(w,b)对w求偏导，在代码中我们会使用dw表示这个结果。
就是函数J(w,b)对b求偏导，在代码中我们会使用 db表示这个结果，
小写字母d 用在求导数（derivative），即函数只有一个参数， 偏导数符号 δ 用在求偏导（partial derivative），即函数含有两个以上的参数。
这篇文章中会用到求导和偏导的相关知识，如果不懂的话，可能要去补习下知识咯！