带通采样定理的数学证明及相关推导

带通采样定理是信号采样领域应用广泛的定理，描述为：

对带限信号采样时，若其下限频率为fL,上限频率为fH时，所需的采样频率fs满足：2fH/(m+1) ≤ fs ≤ 2fL/m，其中m为整数且满足m≤[ fL/(fH-fL) ],[ ]表示向下取整。

特别地，当fH为带宽B=fH-fL的整数倍时，所需采样频率最小值min{fs}=2B；若非整数倍时，设fH=mB+kB,其中k为整数，0<m<1，则min{fs}=2B (1+(m/k) )。

证明如下：

由于带限信号频谱具有轴对称性，故只需对一边的信号进行分析即可。如上图所示，进行采样时以采样频率fs为间隔对信号频谱进行搬移，不失真条件为搬移后的频谱在原频谱区域不发生混叠。

                                         第一次搬移时不混叠条件： -fH+fs≥-fL

                                                                                     -fL+fs≤fL-fs

                                                           联立解得            fL-fH≤fs≤fL ①

此后对频谱进行搬移时，在两个最邻近右侧原频谱的移位频谱处发生不混叠的边界条件，即设第m次搬移频谱在原频谱左侧，第m+1次搬移频谱在原频谱右侧，得：

                                                                                    -fL+m*fs≤fL

                                                                                    -fH+(m+1)*fs≥fH

                                                            联立解得          2fH/(m+1) ≤ fs ≤ 2fL/m             ( m≤[ fL/(fH-fL) ] )

在满足(2fH/m+1) ≤ 2fL/m时，可以证明满足①式，故此即为最终所求fs约束。

通常情况下我们需要fs的带通采样最小值，此时由2fH/(m+1)≤ 2fL/m可知m≤[ fL/(fH-fL) ]，[ ]为向下取整符号。

当：fH为带宽B的整数倍时，代入m= fL/(fH-fL)得min{fs}=2B.

当：fH为带宽B的非整数倍时，设fH=mB+kB,其中k为整数，0<m<1，则代入m=[ fL/(fH-fL) ],得m+1=1+[ fL/B ]=1+(k-1)=k,故min{fs}=2fH/k=2B (1+(m/k) )。证明完毕。