第三章:3.1 正交函数集合
我们现在开始讲解信号频谱分析的理论基础,也就是正交函数集合
完备正交函数集合
要想搞清楚这个概念,我们先从正交讲起,之后我们定义正交函数。再然后我们定义正交集合。最后我们引入正交完备函数集合
正交
我们先来复习一下正交的概念
正交函数
之后我们引入正交函数的概念:如果两个函数之间内积为0,我们称之为正交函数。对于正交函数的定义,与正交的定义十分类似,只是这里变成了乘积和积分
正交函数集合
正交函数集合是指的在一定区间内的一些函数,两两之间具有正交关系。他们自身的内积(模的平方)是不为0的,信号的内积恰好与信号的能量定义是相同的。当这里的函数用于函数分解的时候,这里的每一个函数都称之为基函数。
分解公式是指的任意一个函数,都可以在正交函数集合中投影然后叠加(只是相似,并不一定相等)。其中系数c1就是前面用于度量函数相似的系数。
完备正交函数集合
如果一个函数,满足完备性。也就是分解公式不再是相似而是相等的关系。
对于完备正交函数有很多丰富的性质,其中有一条如下
关于这一点,我们可以推广,于是就有了帕塞瓦尔定理,这一定理在多种变换中都是适用的
分解之后,我们就有了一个全新的对信号观察和分析的角度
三角函数与复指数函数
下面我们分析一下三角函数与复指数函数的完备正交性