信号与系统第三章复习

3.1 信号正交分解的原理
变换域分析
信号f(t)用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。

一、正交信号空间



3.2 傅里叶级数——周期信号的分解与合成
1822年法国数学家傅里叶（1768-1830）在研究热传导理论时发表了《热的分析理论》著作，提出了将周期函数展开为正弦级数的原理。



一、周期信号f(t)展开为三角傅里叶级数 设f(t)是周期为T的函数



周期信号的频谱图
周期信号的三角形式傅里叶级数



二、周期信号f(t)展开为复指数傅里叶级数


复指数傅里叶级数的频谱图


3.3 典型周期信号的频谱
一、周期矩形脉冲信号的频谱

1、对应傅里叶级数



2、频谱的特性
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期
越大，谱线越密。
当周期信号的幅度频谱随着谐波nω1增大时，
幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。
小结：周期信号的频谱特点
(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为ω1。这种频谱常称为离散频谱。
(2)谐波性——谱线在频谱轴上的位置是基频ω1的整数倍。
(3)收敛性——幅度频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。

第一个零点内集中了信号绝大部分能量（功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。

二、傅里叶有限级数与Gibbs现象

吉布斯（Gibbs）现象
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的9% 。 有限项傅里叶级数的叠加会出现吉布斯现象；无穷多项傅里叶级数的叠加没有吉布斯现象。

3.4 傅里叶变换——非周期信号的频谱
一、傅里叶变换
周期信号f(t)展开为傅里叶级数








傅里叶变换的本质

结论：
非周期信号频谱中的频率是余弦信号的频率；
傅里叶变换是将信号分解为余弦信号的和；
余弦信号的幅度与频率的关系是幅度频谱，相
位与频率的关系是相位频谱。

二、典型非周期信号的傅里叶变换
1、门函数


2、单位冲激信号δ(t)

3、直流信号

4、单边指数信号


5、双边指数信号

6、符号函数


7、单位阶跃信号

3.5 傅里叶变换的性质与应用
一、线性性质

二、展缩性质



为加速信号传递，要将信号持续时间压缩，则要以展宽频带为代价。
三、时移特性



四、频移特性

频谱搬移技术在通信系统中得到了广泛应
用，如调幅、同步解调、变频等。





六、卷积特性（卷积定理）
七、时域微分性质

3.6 周期信号的傅里叶变换
一、正余弦信号的傅里叶变换









3.7 系统的频域分析
一、傅里叶变换形式的系统函数









3.8 理想滤波器


滤波器的作用：信号分解为不同频率的余弦信号的叠加，滤波器对每个余弦信号会在幅度和相位产生不同的作用，并在输出端重新将它们合成为新的信号。











3.9 取样定理及其应用







时域取样定理
一个频谱受限信号f(t)，如果频谱只占据
-fm～fm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的
取样值来唯一地表示。而取样频率必须不小
于2fm （其中 ωm=2πfm），或者说最大抽样
间隔为1/2fm 。 又称为Nyquist取样定理或者Shannon取样定理

3.10 调制与解调



二、幅度调制（AM）