雅礼集训 Day10 T1 数字重排 【bitset优化DP】

题目分析：

容易发现将Ci从小到大排序后，若$c_1!=c_2$c1​!=c2​，直接输出$c_1$c1​即可
若$c_1==c_2$c1​==c2​，那么答案一定小于$c_1$c1​
容易发现当一个数$x$x模了一个较小的数后，再模一个大数就没有意义了

于是在这个基础上想到DP，设$f_i$fi​表示i能否在模的过程中被取到，最后的合法答案就是$f_{c_1-1}$fc1​−1​到$f_1$f1​中最大的为1的数，显然应该由大到小转移，于是枚举$i$i从$c_n$cn​到1

• 若$i==c_k$i==ck​，那么$f_i=1$fi​=1，同时给i的倍数打上标记
• 若$i$i是由某个数模后得到的，就需要存在一个$j$j使得$f_j==1$fj​==1且$j-i$j−i是前面某个$c_k$ck​的倍数(被标记过)

暴力转移的时间复杂度是$O(n\ln n+n^2)$O(nlnn+n2)，10⁵的范围无法承受
我们把标记数组记为$g$g，那么第二种情况$f_i=1$fi​=1的条件就是存在$f_j==1\&\&g_{j-i}==1$fj​==1&&gj−i​==1，这样的条件约束是典型的bitset优化（典型到我闻所未闻。。。），等价于$((f>>i) ~\&~g).any()==1$((f>>i) & g).any()==1，any表示存在某一位为1

听说bitset常用于跑10⁵的$O(n^2)$O(n2)算法。。。
所以算法的时间复杂度就是$O(n\ln n+\frac {n^2}w)$O(nlnn+wn2​)

代码巨短：

#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,a[maxn];
bitset<maxn>f,g;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	if(a[1]!=a[2]) printf("%d",a[1]),exit(0);
	n=unique(a+1,a+1+n)-a-1;
	f[0]=1;
	for(int i=a[n],j=n;i>=1;i--)
		if(a[j]==i){
			f[i]=1;
			for(int k=j;k<=a[n];k+=j) g[k]=1;
			j--;
		}
		else if(((f>>i)&g).any()) f[i]=1;
	for(int i=a[1]-1;i>=0;i--) if(f[i]) printf("%d",i),exit(0); 
}

PS：也可以让C由大到小排序，令$f[i][j]$f[i][j]表示前i个数能否得到j，转移就先继承前面的，再枚举k，$f[i]~|=f[i-1]>>k*c_i$f[i] ∣=f[i−1]>>k∗ci​，复杂度。。。似乎有点炸

贴一个bitset常用函数