你说我是行列式,我就是行列式啊,不要面子的吗?
行列式的概念
- 行列式,在数学中是一个函数,定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或|A|
代数余子式的概念
- 在n阶的行列式中,把元素aₒₑ所在的第o行和第e列划掉,留下来的n-1阶行列式叫做元素a的余子式,记作Mₒₑ,将Mₒₑ再乘以(-1)的o+e次幂记作Aₒₑ,Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式
n阶行列式的定义
- D =行列式的某一行的 n个aₒₑAₒₑ元素的相加 (n=1,2,3…)
特殊的行列式
- 对角线行列式: 下三角,上三角,其值为主对角线的乘积
- 斜三角行列式: 其值为斜对角线元素的乘积,乘积的正负号取决于(-1)的n(n-1)除以2次方
- 一个y出现的很不合时宜的行列式
此行列式的值为 *x的n次方+(-1)的n+1次方乘以y的n次方*
求解的方法为按照第一列展开求第一列各元素的代数余子式之和,那么,求取x为划掉第一行,第一列,求取y代数余子式为划掉第一行第n列 - 莫名其妙的abcd行列式
此行列式的值为 (ad-bc)的n次方
求解的方法为按照第一行展开
接下来按照下面小的行列式也就是(2n-1)阶行列式(因为按照第一行展开了,所以下面小的行列式都是(2n-1)阶行列式) ;第一个小行列式按最后一行展开,求d的代数余子式 划掉最后一行也就是(2n-1)行和(2n-1)列代数余子式正负号不变,第二个小行列式的第一列展开,求c得代数余子式 划掉第一列和(2n-1)行,代数余子式正负号没有改变,得到 - 这个a+b+b+…
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此行列式的值为 [a+(n-1)b](a-b)^(n-1)
计算方法为将所有行全部都加到第一行
行列式的性质
- 行列式的转置
也就是一个行列式的第一行变成了第一列,第二行变成了第二列,…第n行变成第n列,but行列式的值不变 - 交换行列式两行(列)的位置,行列式变号
推论: 若行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于0, - 行列式中某一行(列)的公因数可以提取到行列式外
推论1:若行列式中有一行的元素全部为0,则此行列式=0
推论2:若行列式有两行(列)的对应元素成比例,则此行列式=0 - 若行列式中某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和
- 把行列式的某一行(列)的所有元素乘以k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变
推论:若行列式某一行(列)的元素都是m个元素的和,则行列式可以写成m个行列式的和
克莱姆法则
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定义
若一个方程组的系数所组成的行列式的值不等于0,那么方程组有唯一解x1=D1/D,x2=D2/D,xn=Dn/D -
证明
有解
有唯一解
上面的解用到了将行列式的每一列都乘以一个相同的值然后加到其中一列上,行列式的值不变这一性质有解的公式
Xj=Dj/D (D!=0)这就是解的公式啦
克莱姆法则实用性很低,,但是理论价值很高,理论价值高在,当方程组的系数组成的行列式的值不等于0,此方程组有唯一解
齐次线性方程组
若齐次线性方程组系数的行列式D != 0 ,则此齐次线性方程组有唯一0
解,也就是当D=0时,有非0解
范德蒙行列式
举个例子
小问题,可以试着给下解
全排列
n个不同的元素排成一列,就称为n个元数的全排列
逆序
全排列1,2,3…n称为标准排列,此时元素之间的顺序称为标准顺序,在任一排列中,若某两个元素的顺序与标准顺序不同,那么就称这两个元素构成了一个逆序
逆序数
在一个排列中,逆序的总和称作逆序数,也就是说一个排列中,一个数之前有几个比它大的数就有几个逆序数,每个数都这样计算一下然后相加
奇排列和偶排列
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列
对换
- 在一个排列中,任意对调两个元素的位置,其余元素不变,即得到一个新排列,这样一种变换称为对换
- 任意一个排列在对换后改变奇偶性,在n个元素的全排列中,奇偶性各占一半,为n!/2