微分方程

一、一阶微分方程的求解

1. 可分离变量型

1. 能写成：
   $y'=f(x)\cdot g(y)$y′=f(x)⋅g(y)
   则：
   $\frac{dy}{g(y)}=f(x)\\\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$g(y)dy​=f(x)∫g(y)dy​=∫f(x)dx
2. 能写成
   $y'=f(ax+by+c)$y′=f(ax+by+c)
   令：
   $u=ax+by+c$u=ax+by+c
   则：
   $u'=a+bf(u)\\\frac{du}{a+bf(u)}=dx\\\int\frac{du}{a+bf(u)}=\int dx$u′=a+bf(u)a+bf(u)du​=dx∫a+bf(u)du​=∫dx

2. 齐次型

1. 能写成：
   $y'=f(\frac{y}{x})$y′=f(xy​)
   令：
   $u=\frac{y}{x}\\y=ux\\\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$u=xy​y=uxdxdy​=u+xdxdu​
   则：
   $x\frac{du}{dx}+u=f(u)\\\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}$xdxdu​+u=f(u)f(u)−udu​=xdx​∫f(u)−udu​=∫xdx​
2. 能写成
   $\frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})$y′1​=f(yx​)
   令：
   $u=\frac{x}{y}\\x=uy\\\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}$u=yx​x=uydydx​=u+ydydu​
   则：
   $y\frac{du}{dy}+u=f(u)\\\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y}\\\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dy}{y}$ydydu​+u=f(u)f(u)−udu​=ydy​∫f(u)−udu​=∫ydy​

3. 一阶线性型

能写成：
$y'+p(x)y=q(x)$y′+p(x)y=q(x)
则：
$e^{\int p(x)dx}\cdot y'+e^{\int p(x)dx}p(x)\cdot y=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)\\\left[e^{\int p(x)dx}\cdot y\right]'=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)\\e^{\int p(x)dx}\cdot y=\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C\\y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C\right]$e∫p(x)dx⋅y′+e∫p(x)dxp(x)⋅y=e∫p(x)dx⋅q(x)[e∫p(x)dx⋅y]′=e∫p(x)dx⋅q(x)e∫p(x)dx⋅y=∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+Cy=e−∫p(x)dx[∫e∫p(x)dx⋅q(x)dx+C]

二、二阶可降阶微分方程的求解

1. 赶尽杀绝$y$y

能写成：
$y''=f(x,y')$y′′=f(x,y′)
缺$y$y，令：
$y'=p,y''=p'\\\frac{dp}{dx}=f(x,p)$y′=p,y′′=p′dxdp​=f(x,p)
则解为：
$p=\varphi(x,C1)$p=φ(x,C1)
即$y'=\varphi(x,C1)$y′=φ(x,C1)，通解为：
$y=\int\varphi(x,C1)dx+C2$y=∫φ(x,C1)dx+C2

2. 斩草除根$x$x

能写成：
$y''=f(y,y')$y′′=f(y,y′)
缺$x$x，令：
$y'=p,y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p\\p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$y′=p,y′′=dxdp​=dydp​⋅dxdy​=dydp​⋅ppdydp​=f(y,p)
若求得其解为$p=\varphi(y,C1)$p=φ(y,C1)，则：
$p=\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C1)$p=dxdy​=φ(y,C1)
分离变量得：
$\frac{dy}{\varphi(y,C1)=dx}$φ(y,C1)=dxdy​
两边积分：
$\int\frac{dy}{\varphi(y,C1)}=x+C2$∫φ(y,C1)dy​=x+C2

三、高阶常系数线性微分方程的求解

1. 齐次线性微分方程的通解

1. 若$p^2-4q>0$p2−4q>0，则$\lambda_1\ne\lambda_2$λ1​​=λ2​是特征方程的两个不等实根，则通解为：
   $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x
2. 若$p^2-4q=0$p2−4q=0，则$\lambda_1=\lambda_2$λ1​=λ2​是特征方程的两个相等实根，则通解为：
   $y=\left(C_1+C_2x\right)e^{\lambda x}$y=(C1​+C2​x)eλx
3. 若$p^2-4q<0$p2−4q<0，设$\alpha\pm\beta i$α±βi是特征方程的一堆共轭复根，则通解为：
   $y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

2. 非齐次线性微分方程的特解

1. 当*项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$f(x)=Pn​(x)eαx时，特解要设为：
   $y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$y∗=eαxQn​(x)xk其中：
   $\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ Q_n(x)为x的n次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0,&\alpha\ne\lambda_1,\alpha\ne\lambda_2 \\ 1,&\alpha=\lambda_1或\alpha=\lambda_2 \\ 2,&\alpha=\lambda_1=\lambda_2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​eαx照抄Qn​(x)为x的n次一般多项式k=⎩⎨⎧​0,1,2,​α​=λ1​,α​=λ2​α=λ1​或α=λ2​α=λ1​=λ2​​​
2. 当*项$f(x)=e^{\alpha x}\left[P_m(x)\cos{\beta x}+P_n(x)\sin{\beta x}\right]$f(x)=eαx[Pm​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]时，特解要设为：
   $y^*=e^{\alpha x}\left[Q_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+Q_l^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]x^k$y∗=eαx[Ql(1)​(x)cosβx+Ql(2)​(x)sinβx]xk
   其中：
   $\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ l=\max(m,n),Q_l^{(1)}(x),Q_l^{(2)}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0, & \alpha\pm\beta i不是特征根 \\ 1, & \alpha\pm\beta i是特征根 \end{matrix}\right. \\ \end{matrix}\right.$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​eαx照抄l=max(m,n),Ql(1)​(x),Ql(2)​(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式k={0,1,​α±βi不是特征根α±βi是特征根​​

3. 能写成$y''+py'+qy=f(x)$y′′+py′+qy=f(x)

1. 写$\lambda^2+p\lambda+q=0$λ2+pλ+q=0，写齐次方程的通解
2. 设特解$y'$y′，代回方程求待定系数，写出特解
3. 写出通解

4. 能写成$y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)$y′′+py′+qy=f1​(x)+f2​(x)

1. 写$\lambda^2+p\lambda+q=0$λ2+pλ+q=0，写齐次方程的通解
2. $y''+py'+qy=f_1(x)$y′′+py′+qy=f1​(x)，写出特解$y_1^*$y1∗​
3. $y''+py'+qy=f_2(x)$y′′+py′+qy=f2​(x)，写出特解$y_2^*$y2∗​
4. $y_1^*+y_2^*$y1∗​+y2∗​为特解
5. 写出通解

5. 能写成$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$x2y′′+pxy′+qy=f(x)

6. ${y^{(n)}}'' (n\ge3)$y(n)′′(n≥3)的情形