3 非齐次线性微分方程与无量纲化

0.引言

本节研究常系数二阶线性方程右边加入非齐次项的情况。非齐次项包括指数函数，三角函数或多项式函数的情况。

1.求解步骤

对于非齐次线性二阶ODE $\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) x=g(t)\tag{1}$

$g(t)\neq 0$ ，其求解分3步

求对应齐次方程通解 $x_{h}(t)=c_{1} x_{1}(t)+c_{2} x_{2}(t)$
找到非齐次方程的一个特解 $x_{p}(t)$
则非齐次方程通解为 $x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\tag{2}$

2.求特解的方法

求特解的方法为待定系数法，下面用例子来说明。
$\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=f(x)\tag{3}$

$f(x)$ 是指数函数，如 $\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=3 e^{2 t}$ 。则令特解为 $x(t)=A e^{2 t}$ 。
$f(x)$ 是三角函数，如 $\ddot{x}-3 \dot{x}-4 x=2 \sin t$ ，则令特解为 $x(t)=A \cos t+B \sin t$ 。
$f(x)$ 是多项式函数，如 $x+x-2 x=t^{2}$ ，则令特解为 $x(t)=A t^{2}+B t+C$

3. 特殊情况

如果非齐次项是齐次方程的一个解，则特解的形式在2节的基础上还需要乘 $t$ 。
注：由于特解中与 $t$ 相乘的部分 $h(t)$ 满足齐次方程。将特解代入(1)后,包含 $t$ 的项为 $t(\ddot{h}(t)+p(t) \dot{h}{(t)}+q(t) t)=0$ 。因此结果不含有带 $t$ 的项。

4.应用

4.1 RLC电路

3 非齐次线性微分方程与无量纲化
各物理量满足 $V_{C}=q / C, \quad V_{R}=i R, \quad V_{L}=\frac{d i}{d t} L$

并且有 $i=d q / d t$ 。根据基尔霍夫定律，可得
$L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=\mathcal{E}_{0} \cos \omega t\tag{4}$

定义自然频率为 $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$ 。

4.1.1 无量纲化

定义无量纲时间 $\tau$ 和电荷量 $Q$ ,
$\tau=\omega_{0} t, \quad Q=\frac{\omega_{0}^{2} L}{\mathcal{E}_{0}} q\tag{5}$

则式(5)可化为 $\frac{d^{2} Q}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d Q}{d \tau}+Q=\cos \beta \tau\tag{6}$

其中， $\alpha$ 和 $\beta$ 被称为无量纲参数。
$\alpha=\frac{R}{L \omega_{0}}, \quad \beta=\frac{\omega}{\omega_{0}}\tag{7}$

无量纲化，把式(4)中的五个参数 $R, L, C, \mathcal{E}_{0} \text { and } \omega$ 变成了式()中的两个无量纲参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 。
注:

1.无量纲化后，函数，自变量，参数都没有量纲。
2.无量纲化的具体方法可以根据想要的形式，利用待定系数法把无量纲的函数和自变量设出来。

4.2 单摆运动

3 非齐次线性微分方程与无量纲化

模型建立遵循以下步骤：

写矢量式
选定坐标系(包括坐标原点和基矢量)
将矢量式在坐标系下展开
方程如下：

$m l \ddot{\theta}+c l \dot{\theta}+m g \sin \theta=F_{0} \cos \omega t\tag{8}$

3 非齐次线性微分方程与无量纲化

0.引言

1.求解步骤

2.求特解的方法

3. 特殊情况

4.应用

4.1 RLC电路

4.1.1 无量纲化

4.2 单摆运动

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