常系数微分方程组的V函数构造定理的解释

这是王高雄里的常微分方程里的二次型V函数的构造…一节的定理，

定正矩阵，这个书里没注意到在哪，不过在高等代数中就是正定矩阵的意思，

第二个划线部分矩阵里的微分运算，也是没见过的，

看起来很有意思，但是原因呢？

之前在证明刘维尔公式的时候有行列式求导运算，现在又有矩阵求导，

其实没有特别的理由，就当作是一般的函数乘积求导而已，不过对于矩阵，只需要看作是n^2维向量值函数而已，然后按照数学分析中的多元函数微分即可。

把A*'B*+BA=C展开，如何得到书上的关系式。B由于B是对称矩阵，B=U’BU也是对称的，C由于C是对称矩阵，C=U’CU也是对称的。只有A*是A的相似矩阵。

首先看书上c1j就是说是第一行第j列。即是求(A^{T)B(1j)元为A*}T第一行乘以B的第j列，加上BA*(1j)元为B的第一行乘以A的第j列。
(λ1,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (b11, b12,…,b1n)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c1j。 所以 λ1b1j + b1(j-1)dj+b1jλj=c1j。 这里(0,0,…,dj,λj,…,0)'dj的位置在矩阵A中为(j-1, j) λj的位置为(j,j)。

所以有(λ1+λj)b1j+dj*b(j-1)=c1j。 注意我这里跟书上的是一样的，只是写法不同，书上是为了区分之前的矩阵，而我是为了简化写法。

然后考虑c2j，
求(A*^{T)B(2j)元为A*}T第2行乘以B的第j列，加上BA*(2j)元为B的第2行乘以A的第j列。
(d2,λ2,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (b21, b22,…,b2n)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c2j。 所以 d2b1j+ λ2b2j + b2,(j-1)dj+b2jλj=c2j。 即是
(λ2+λj)b2j + d2b1j + djb2,(j-1)=c2j

然后考虑c3j，
求(A*^{T)B(3j)元为A*}T第3行乘以B的第j列，加上BA*(3j)元为B的第3行乘以A的第j列。
(0,d3,λ3,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (b31, b32,…,b3n)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c3j。 所以 d3b2j + λ3b3j + b3,(j-1)dj + b3jλj = c3j。 即是 (λ3+λj)b3j + d3b2j+ dj*b3,(j-1) = c3j

现在考虑cij，
求(A*^{T)B(ij)元为A*}T第i行乘以B的第j列，加上BA*(ij)元为B的第i行乘以A的第j列。
(0,…,di,λi,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (bi1, bi2,…,bin)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c3j。其中di的位置为(i,i-1)，λi的位置为(i,i)，dj的位置为(j-1,j)，λi的位置为(j,j)。所以 dib(i-1),j + λibij + bi,(j-1)dj + bijλj = cij。即是 (λi + λj)bij +dib(i-1),j +dj*bi,(j-1) = cij。

这里i=2,3,…n，能取到n也是合理的。所以这就是书上n(n+1)/2元方程组。

比较所以有(λ1+λj)b1j+djb(j-1)=c1j 和
(λi + λj)bij +dib(i-1),j +djbi,(j-1) = cij (i=2,3,…,n)形式上的差别。发现就差了个d1b0,j，设d1=0, b0j=0，则形式上有
(λi + λj)bij +dib(i-1),j +djbi,(j-1) = cij (i=1,3,…,n)。 注意B是对称矩形，为了保证对称性，不妨假设有bi, 0=0 (i=1,2…,n)

现在看定理的内容，对于任意C唯一存在B满足…。A，C是已知的，U也是已知的，则C*，A是已知的，所以方程组是求B，进而再求出B。

额，之前求ci1的时候有点问题，
求(A*^{T)B(ij)元为A*}T第i行乘以B的第j列，加上BA*(ij)元为B的第i行乘以A*的第j列。
(0,…,di,λi,0…,0)(b1j, b2j,…,bnj)’ + (bi1, bi2,…,bin)(0,0,…,dj,λj,…,0)’=c3j。其中di的位置为(i,i-1)，λi的位置为(i,i)，dj的位置为(j-1,j)，λi的位置为(j,j)。如果j=1是第一列，d0不存在，所以j从2开始，但是为了形式统一，可以取d0=0。

书上并未统一i=1，而只是统一j=1，这在接下来求解bij也是可以的，书上求bij不过是进行移项操作而已。

王高雄的李雅普诺夫第二方法求非线性方程组的零解稳定性。

再利用丁同仁书上的定理1。王高雄书上的第五章定理11不如这个好。

书上的证明过程基本上没有问题，但是定理的内容关于C是什么对称矩阵没解释。

在存在唯一的二次型证明过程中，对C没有任何要求。

只是在证明A的特征值实部均为负的时候，证明二次型定正，利用到了C是负定这个条件，即d(V)/dt=x^TCx是定负二次型。

那么定理的意思是当C是定正的时候，证明的后部分一切结论都相反的吗？

若C是定正的时候，先证当A的特征值的实部均为负数，则V(x)=X’BX是定负的。假设不成立，即存在x0≠0，有
V(x0)>=0。考虑以x0为初值的解x=φ(t,t0,x0)，由于d(V(x))/dt=x’Cx是定正的，则有d(V(φ(t)))/dt>0，(注意这里φ(t)≠0，因为x=0在相平面中是奇点，φ(t)在相平面中穿过奇点只能是t趋于-∞或者∞，因为自洽微分方程轨线不相交。)两边取积分有∫d(V(φ(t)))/dt|[t, t0]=V(φ(t))-V(φ(t0))>0，当t>t0的时候，把t0换成t1，即有V(φ(t))>V(φ(t1))>V(φ(t0))。
又由于丁同仁书上定理1，引理2，则有基解矩阵Φ趋于0，即是说任意解φ趋于0，则有lim(t->∞)V(φ(t))=0, 而lim(t->∞)V(φ(t))>=V(φ(t1))>0的矛盾，所以即证得V(x)=X’BX是定负的。

再证明当A的特征值是有正实部的时候，二次型不是常负的。

假设V是常负的，即是任意x0≠0，有V(x0)<=0。分成两部分讨论。1.当V(x0)=0的时候，以x0为初值的解φ，有dV(x(t))/dt>0，所以就有V(x(t))>V(x(t0))=0，当t>t0的时候，这与V常负矛盾。

2.假设V为定负的时候，即是任意x0有V(x0)<0的时候，以x0为初值的解φ，有dV(x(t))/dt>0，所以就有V(x(t))>V(x(t0))，当t>t0的时候。模仿王高雄书上的定理5的证明过程，就有当V是负定的，dV/dt是正定的，则零解是渐近稳定的。

再根据丁同仁的定理3，特征根有正实部，零解是不稳定的矛盾。可知，2情况也不成立。
所以综上就有当A的特征值是有正实部的时候，二次型不是常负的。
这样就完整的证明了这个定理。在这里插入图片描述