泰勒级数详解

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：

定理：
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有

其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的 Rn(x)${\displaystyle R_n(x)}$是泰勒公式的余项，是 (x−a)n${\displaystyle (x-a{)}^n}$ 的高阶无穷小。
泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果 a=0 的话，就是麦克劳伦公式，即f(x)=∑Nn=0fn(0)n!xn+Rn(x)$f(x)=\sum _{n=0}^N\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$,这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

1.多项式的函数图像特点

f(x)=∑Nn=0fn(0)n!xn$f(x)=\sum _{n=0}^N\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n$展开来就是f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+fn(0)n!xn,f(0),f′′(0)2!$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n,f(0),\frac{f^{″}(0)}{2!}$,这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。


可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于 Y 轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。
那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让 x^2 和 x^9 的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

2.用多项式对 ex$e^x$ 进行逼近

ex$e^x$ 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 e 就是这么任性。
ex=1+x+12!x2+...+1n!xn+Rn(x)$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+...+\frac{1}{n!}{x}^n+R_n(x)$

增加一个 14!x4$\frac{1}{4!}{x}^4$ 看看

可以看出， 1n!xn$\frac{1}{n!}{x}^n$ 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 ex$e^x$ 。并且 n 越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对 sin(x) 进行逼近

sin(x) 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。
sin(x)=x−13!x3+⋯+(−1)n(2n+1)!x(2n+1)+Rn(x)$sin(x)=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{(2n+1)}+R_n(x)$。

同样的，我们再增加一个 17!x7$\frac{1}{7!}{x}^7$ 试试。

可以看到 17!x7$\frac{1}{7!}{x}^7$ 在适当的位置，改变了 x−13!x3+15!x5$x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5$ 的弯曲方向，最终让x−13!x3+15!x5−17!x7$x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7$ 更好的逼近了 sin(x)$sin(x)$。

4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足，在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，那么至少有一点 θ(a<θ<b)$\theta (a<\theta <b)$使等式 f′(θ)=f(a)−f(b)a−b$f^{\prime }(\theta )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$成立。—-*
数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项 Rn(x)$R_n(x)$ 我们一直没有提。
余项即使用泰勒公式估算的误差，即 f(x)−∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)n=Rn(x)${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^N\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=R_n(x)}$
余项的代数式是， Rn(x)=f(n+1)(θ)(n+1)!(x−a)(n+1)$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}(x-a{)}^{(n+1)}$，其中a<θ<x$a<\theta <x$ 。是不是看着有点像了？
当 N=0 的时候，根据泰勒公式有， f(x)=f(a)+f′(θ)(x−a)$f(x)=f(a)+f^{\prime }(\theta )(x-a)$，把拉格朗日中值定理中的 b 换成 x ，那么拉格朗日中值定理根本就是 N=0 时的泰勒公式。
结合拉格朗日中值定理，我们来看看 N=0 的时候，泰勒公式的几何意义：

当 N=0 的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么 N=1,2,⋯$N=1,2,\cdots$ 呢？
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。
还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？
因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中……四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 知乎，这个回答里尝试重新作答了。
根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为 n 份，分别为 a1，a2，⋯，an，$a_1，a_2，\cdots ，a_n，$令 a1=a，a2=a+Δx，⋯，an=a+(n−1)Δx$a_1=a，a_2=a+\mathrm{\Delta }x，\cdots ，a_n=a+(n-1)\mathrm{\Delta }x$ 。我们可以推出（ Δ2，Δ3${\mathrm{\Delta }}^2，{\mathrm{\Delta }}^3$可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：
f(a2)=f(a+Δx)=f(a)+Δf(x)$f(a_2)=f(a+\mathrm{\Delta }x)=f(a)+\mathrm{\Delta }f(x)$
f(a3)=f(a+2Δx)=f(a+Δx)+Δf(a+Δx)=f(a)+2Δf(x)+Δ2f(x)$f(a_3)=f(a+2\mathrm{\Delta }x)=f(a+\mathrm{\Delta }x)+\mathrm{\Delta }f(a+\mathrm{\Delta }x)=f(a)+2\mathrm{\Delta }f(x)+{\mathrm{\Delta }}^{2}f(x)$
f(a4)=f(a+3Δx)=f(a)+4Δf(x)+6Δ2f(x)+4Δ3f(x)+Δ4f(x)$f(a_4)=f(a+3\mathrm{\Delta }x)=f(a)+4\mathrm{\Delta }f(x)+6{\mathrm{\Delta }}^{2}f(x)+4{\mathrm{\Delta }}^{3}f(x)+{\mathrm{\Delta }}^{4}f(x)$
也就是说，f(x)全部可以由 a 和 \Delta x 决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限 \Delta x \to 0 ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如 f(x)=2−3x$f(x)=2-3x$，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时 f(x) 会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到 2−3×4=−10$2-3\times 4=-10$ ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了…”。但是 ln(x) 阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”—-《微积分之倚天宝剑》
泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把 sin(x) 进行泰勒展开进行计算的。
泰勒公式还可以把问题简化，比如计算， limx→0sin(x)x${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}}$，代入 sin(x) 的泰勒展开有：limx→0sin(x)x=limx→0x+o(x3)x=1${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+o(x^3)}{x}=1}$ ，其中其中 o(x3)$o(x^3)$ 是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小，limx→0o(x3)=0${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}o(x^3)=0}$ 。
泰勒公式求高：

以上内容转自：
https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/111173412