【机器学习】Fisher线性判别与线性感知机

来源 | AI小白入门
作者 | 文杰
编辑 | yuquanle
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Fisher线性判别与线性感知机

​ Fisher线性判别和线性感知机都是针对分类任务，尤其是二分类，二者的共同之处在于都是线性分类器，不同之处在于构建分类器的思想，但是二者有异曲同工之妙。同时二者又可以与logistic回归进行对比，当然logistic回归的理论基础是概率。

1. Fisher线性判别

​ Fisher线性判别是一种线性分类思想，其核心是找一个投影方向将d维数据投影（降维）到一维，使得类内紧致，类间分离。在确定投影方向之后，决策分类器还并未完成，我们还需要分界点来划分不同的类。一般而言很少用Fisher线性判别作为分类模型，更多是借鉴Fisher线性判别的思想来指导降维。

以两类问题来分析：

由类内紧致，类间分离准则确定投影方向，我们可以定义如下类内距离和类间距离
$\tilde{m}_{i}=\frac{1}{n_{i}}\sum_{y_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}y_{j}=\frac{1}{n_{i}}\sum_{y_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}w^{T}x_{j}=w^{T}m_{i}$m~i​=ni​1​yj​∈Xi​∑i=1,2​yj​=ni​1​yj​∈Xi​∑i=1,2​wTxj​=wTmi​
其中$\tilde{m}_{i}$m~i​表示降维后的类中心，$m_{i}$mi​表示原始空间的类中心。

类内距离：
$\tilde{S}_{w}=\sum_{y_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}(y_{j}-\tilde{m}_{i})^{2}\\ =\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}\left (w^{T}x_{j}-\frac{1}{n_{i}}\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i}w^{T}x_{j} \right )^{2}\\ =w^{T}\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}\left (x_{j}-\frac{1}{n_{i}}\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i}x_{j} \right )^{2}w\\ =w_{T}S_{w}w$S~w​=yj​∈Xi​∑i=1,2​(yj​−m~i​)2=xj​∈Xi​∑i=1,2​⎝⎛​wTxj​−ni​1​xj​∈Xi​∑i​wTxj​⎠⎞​2=wTxj​∈Xi​∑i=1,2​⎝⎛​xj​−ni​1​xj​∈Xi​∑i​xj​⎠⎞​2w=wT​Sw​w
其中$S_{w}=\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}\left (x_{j}-m_{i} \right )^{2}$Sw​=∑xj​∈Xi​i=1,2​(xj​−mi​)2表示每类样本在原始空间的一个类内距离。

类间距离：
$\tilde{S}_{b}=(\tilde{m}_{1}-\tilde{m}_{2})^{2}\\ =\left (\frac{1}{n_{1}}\sum_{x_{j}\in X_{1}}w^{T}x_{j}-\frac{1}{n_{2}}\sum_{x_{j}\in X_{2}}w^{T}x_{j} \right )^{2}\\ =w^{T}\left (\frac{1}{n_{1}}\sum_{x_{j}\in X_{1}}x_{j}-\frac{1}{n_{2}}\sum_{x_{j}\in X_{2}}x_{j} \right )^{2}w\\ =w^{T}S_{b}w$S~b​=(m~1​−m~2​)2=⎝⎛​n1​1​xj​∈X1​∑​wTxj​−n2​1​xj​∈X2​∑​wTxj​⎠⎞​2=wT⎝⎛​n1​1​xj​∈X1​∑​xj​−n2​1​xj​∈X2​∑​xj​⎠⎞​2w=wTSb​w
其中$S_{b}=\sum_{x_{j}\in X_{i}}^{i=1,2}\left (m_{1}-m_{2} \right )^{2}$Sb​=∑xj​∈Xi​i=1,2​(m1​−m2​)2表示每类样本在原始空间的一个类间距离。

所以为了使类内紧致，类间分离，可以最大化如下目标函数：
$\max J(w)=\frac{\tilde{S}_{b}}{\tilde{S}_{w}}=\frac{w^{T}{S}_{b}w}{w^{T}{S}_{w}w}$maxJ(w)=S~w​S~b​​=wTSw​wwTSb​w​
等价于$\max(w^{T}{S}_{b}w) s.t. w^{T}{S}_{w}w=c$max(wTSb​w)s.t.wTSw​w=c,由拉格朗日乘子法有
$L(w,\lambda)=w^{T}{S}_{b}w-\lambda(w^{T}{S}_{w}w-c)$L(w,λ)=wTSb​w−λ(wTSw​w−c)
可以看出目标函数是关于w的二次凸规划，极值在导数为0处取到，对上式求导有$S_{b}w^{*}-\lambda S_{w}w^{*}=0$Sb​w∗−λSw​w∗=0,如果$S_{w}$Sw​可逆的话，即
$(S_{b}-\lambda S_{w})w=0\\ S_{w}^{-1}S_{b}w^{*}=\lambda w^{*}$(Sb​−λSw​)w=0Sw−1​Sb​w∗=λw∗
也就是说$w$w是$(S_{b}-\lambda S_{w})$(Sb​−λSw​)的特征向量。将$S_{b}=(m_{1}-m_{2})^{2}$Sb​=(m1​−m2​)2带入有
$S_{w}^{-1}(m_{1}-m_{2})(m_{1}-m_{2}^{T})w^{*}=\lambda w^{*}$Sw−1​(m1​−m2​)(m1​−m2T​)w∗=λw∗
又$(m_{1}-m_{2}^{T})w^{*}$(m1​−m2T​)w∗是一个标量，所以$w^{*}=S_{w}^{-1}(m_{1}-m_{2})$w∗=Sw−1​(m1​−m2​).

​ 虽然我们确定了投影方向，但是真正的决策函数还是未能确定，一般最简单的做法是直接在一维上找一个阈值直接将两类分开，但是如何确定阈值还需要定义分类的损失函数（类一致性准则）。

比如我们直接采用0-1损失，那么决策界则尽可能多的正确分类样本，另外如果我们采用Logistic回归的对数损失，那么我们的决策边界就不一样。从这个角度来看，线性判别分析和Logistic回归都是将数据映射到一维来进行分类，有没有不用降维直接进行分类的方法，下面就是感知机的分类思想。

2. 线性感知机

​ 线性感知机同样是基于线性分类思想，其核心是直接在高维空间找到一个超平面将两类样本尽可能的分开。即，定义点到超平面的距离，在保证线性可分的基础上最小化点到超平面的距离（等价于使得最难分的样本离超平面距离尽可能的大），但由于没有线性可分前提，所以感知机的目标函数是最小化错分样本到超平面的距离之和（线性损失），而分类正确的样本无损失。

首先定义线性超平面：
$w\cdot x+b=0$w⋅x+b=0
点到超平面的距离为$\frac{1}{||w||^{2}}(w\cdot x_{i}+b)$∣∣w∣∣21​(w⋅xi​+b)，即错分的样本到超平面的距离一定为负：
$-\frac{1}{||w||^{2}}y_{i}(w\cdot x_{i}+b)>0$−∣∣w∣∣21​yi​(w⋅xi​+b)>0
感知机只考虑分类错误的样本，目标函数为最小化错分样本到超平面的距离之和：
$\min-\sum_{x_{i}\in M}\frac{1}{||w||^{2}}y_{i}(w\cdot x_{i}+b)$min−xi​∈M∑​∣∣w∣∣21​yi​(w⋅xi​+b)
其中M为错分样本集合。因为感知机优化的目标是针对错误样本集来不断的调整参数，所以在使用梯度下降算法的时候梯度的计算只依赖于错分的样本。

找到超平面之后我们就可以基于超平面定义决策函数为
$f(x)=sign(w\cdot x+b)\\ sign(x)=\left\{\begin{matrix} +1， x \geq 0\\ -1, x<0 \end{matrix}\right.$f(x)=sign(w⋅x+b)sign(x)={+1，x≥0−1,x<0​
再回过头看损失函数，我们发现感知机的损失与Logistic回归的对数损失不一样，感知机采用的损失直接是错误样本的$f(x)$f(x)值，而Logistic回归的损失是所有样本的对数损失（当然Logistic回归的$f(x)=sigmoid(x)$f(x)=sigmoid(x)）。

感知机的对偶形式：

感知机的对偶形式是logistic回归一致，同SVM对偶形式推导一致。

可以说神经网络和SVM都是线性感知机的一种延伸，神经网络是引入非线性**函数，而SVM则是使用核函数，SVM同时提出了软间隔分类。虽然说神经网络是从感知机过来的，但是神经网络引入非线性**函数后，不仅失去了解释性，也使其与感知机渐行渐远，笔者倒是觉得SVM更像感知机，不仅提升了精度，同时保留了很好的解释性。

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