频率域滤波

• 傅立叶变换的结果与图像中的强度变化模式具有一定的联系。

• 例如：变化最慢的频率成分$(u=v=0)$(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级。
  $F(0,0) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)$F(0,0)=MN1​∑x=0M−1​∑y=0N−1​f(x,y)
• 低频对应着图像的总体灰度级的显示。
• 高频对应图像中变化快的分量（图像的细节）。比如图像中有噪声，那么噪声的位置灰度级会有突然的变化。或者图像中目标物体的边缘部分。

• 如果要抑制图像的噪声，让低频的分量通过，让高频的分量衰减，做图像的平滑。
• 如果要增强图像的边缘，让高频的分量通过，让低频的分量衰减，突出边缘的效果，突出图像细节。

频率域滤波的步骤

1. 用$(-1)^{x+y}$(−1)x+y乘以输入图像来进行中心变换
2. 由(1)计算图像的DFT，即$F(u,v)$F(u,v)
3. 用滤波器函数$H(u,v)$H(u,v)乘以$F(u,v)$F(u,v)
4. 计算(3)中结果的反DFT
5. 得到(4)中结果的实部
6. 用$(-1)^{x+y}$(−1)x+y乘以(5)中的结果

$H(u,v)$H(u,v)被称为滤波器(滤波器传递函数)。本课程中使用的是零相位滤波器。

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一些基本的滤波器及其性质

图像的平均值由$F(0,0)$F(0,0)给出。如果在频率域中设置此项为零，并进行反变换，那么结果图像的平均值将为零。滤波函数可选为:

$H(u,v) = 0, ~~~~~~~~~~~~~~~~~if (u,v) = (\frac{M}{2},\frac{N}{2})$H(u,v)=0,                 if(u,v)=(2M​,2N​)

$H(u,v) = 1, ~~~~~~~~~~~~~~~~~otherwise$H(u,v)=1,                 otherwise
此滤波器可以设置$F(0,0)$F(0,0)为零(正如所希望的那样)，而保留其他傅立叶变换的频率成分不变。处理后的图像（具有0平均值）可以通过对$H(u,v) \cdot F(u,v)$H(u,v)⋅F(u,v)进行傅立叶反变换来获得。

空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系

• 空间域滤波和频率域滤波之间最基本的联系是由卷积定理的有关结论建立的。
• 在空间域中奖滤波的模板在图像中做像素移动，并对每个像素进行指定数量的计算的过程就是卷积过程。形式上，大小为$M \times N$M×N的两个函数$f(x,y)$f(x,y)和$h(x,y)$h(x,y)的离散卷积表示为：$f(x,y) * h(x,y)$f(x,y)∗h(x,y),并定义如下：
        $f(x,y) * h(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)h(x-m,y-n)$f(x,y)∗h(x,y)=MN1​∑m=0M−1​∑n=0N−1​f(m,n)h(x−m,y−n)
• 用$F(u,v)$F(u,v)和$H(u,v)$H(u,v)分别表示$f(x,y)$f(x,y)和$h(x,y)$h(x,y)的傅立叶变换，卷积定理说明$f(x,y) * h(x,y)$f(x,y)∗h(x,y)和$F(u,v)H(u,v)$F(u,v)H(u,v)组成傅立叶变换对。类似的结果是频率域的卷积简化为空间域的乘法形式上表示如下：
        $f(x,y) * h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v)$f(x,y)∗h(x,y)⇔F(u,v)H(u,v)
        $f(x,y)h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v) * H(u,v)$f(x,y)h(x,y)⇔F(u,v)∗H(u,v)
• 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为在空间域构建更小空间滤波模板的指导。