机器人路径规划——关于贝塞尔曲线方程的理解

一阶贝塞尔曲线（包含两个控制点）

假设控制点为$P_0$P0​和$P_1$P1​，曲线方程为：
$\begin{aligned} B(t)&=(1-t)P_0+tP_1\\ &=P_0+(P_1-P_0)t \end{aligned}$B(t)​=(1−t)P0​+tP1​=P0​+(P1​−P0​)t​
其中$t \in [0,1]$t∈[0,1]。
这个方程可以理解为，从$P_0$P0​出发，朝着$P_1$P1​的方向前进$||P_1-P_0||t$∣∣P1​−P0​∣∣t的距离，从而得到了点$B(t)$B(t)的位置。
另外，之所以是一阶贝塞尔曲线是因为方程是关于$t$t的一阶多项式。

二阶贝塞尔曲线（包含三个控制点）

设控制点为$P_0$P0​，$P_1$P1​和$P_2$P2​，曲线方程为：
$\begin{aligned} B(t)&=(1-t)^2P_0+2t(t-1)P_1+t^2P_2\\ &=(1-t)[(1-t)P_0+tP_1]+t[(1-t)P_1+tP_2]\\ &=(1-t)[P_0+(P_1-P_0)t]+t[P_1+(P_2-P_1)t]\\ &=[P_0+(P_1-P_0)t]+[[P_1+(P_2-P_1)t]-[P_0+(P_1-P_0)t]]t\\ &=A(t)+[C(t)-A(t)]t \end{aligned}$B(t)​=(1−t)2P0​+2t(t−1)P1​+t2P2​=(1−t)[(1−t)P0​+tP1​]+t[(1−t)P1​+tP2​]=(1−t)[P0​+(P1​−P0​)t]+t[P1​+(P2​−P1​)t]=[P0​+(P1​−P0​)t]+[[P1​+(P2​−P1​)t]−[P0​+(P1​−P0​)t]]t=A(t)+[C(t)−A(t)]t​
其中$t \in [0,1]$t∈[0,1],$A(t)=[P_0+(P_1-P_0)t],C(t)=[P_1+(P_2-P_1)t]$A(t)=[P0​+(P1​−P0​)t],C(t)=[P1​+(P2​−P1​)t]。

以上方程可以理解为，从$A$A点出发，朝$C$C点运动$||C-A||t$∣∣C−A∣∣t的距离，最终得到$B$B的位置。
另外，$A$A点的位置又是，从$P_0$P0​出发，朝着$P_1$P1​的方向前进$||P_1-P_0||t$∣∣P1​−P0​∣∣t的距离获得的。$C$C点的位置也是类似。

三阶贝塞尔曲线（包含四个控制点）

设控制点为$P_0$P0​，$P_1$P1​，$P_2$P2​和$P_4$P4​，曲线方程为：
$\begin{aligned} B(t)&=(1-t)^3P_0+3t(t-1)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3\\ \end{aligned}$B(t)​=(1−t)3P0​+3t(t−1)2P1​+3t2(1−t)P2​+t3P3​​
下图展示了三阶贝塞尔曲线的绘制过程：

根据四个控制点，先确定$A_1,A_2,A_3$A1​,A2​,A3​的位置，而后再确定$C_1,C_2$C1​,C2​的位置，最后再根据$C_1,C_2$C1​,C2​确定$B$B的位置。

说明

1、贝塞尔曲线在$t$t处的切线方向为：$\frac{\partial B}{\partial t}$∂t∂B​