容斥原理
公式
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详细推理如下:
1、 等式右边改造 = {[(A+B - A∩B)+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C
2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C
3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:
那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,
减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,
则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
原理
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如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B)
例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析
依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人?
100-(62+34-11)=15
中学教科书给出的定义
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)[1]