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前言

二叉排序树也叫二叉搜索树、二叉查找树，是二叉树的一种，但是二叉树的入门很简单，即使没有二叉树的基本，自己手写一个二叉排序树也可以做到，下面我们详细介绍以下二叉排序树的定义和三种最基本的操作——增、删、查。

在这里我们只谈思路、就不附上代码了。

一、定义

满是学究气息的文字定义我们先不看，还是沿用看图说话的惯例。

“数无形时少直觉，形少数时难入微”，所以文字上的定义也是不能少的，其实我们通过上图可以自己总结出来。

对于二叉树上的任意节点，若它的左子树不为空，那么左子树上所有节点的值均小于它的值，若它的右子树不为空，那么右子树上所有节点的值均大于它的值。

目的：构造一棵二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找、增加和删除数据的速度。因为在一个有序的集合中查找数据的速度总是快于在无序集合中，而且二叉树排序树这种非线性的结构也有利于增加和删除节点（类似链表）。

二、查找

图一：初始状态，若查找80。

图二：先遍历根节点，与80比大小，若大约根节点的数值（60），则向右移；否则向左移。

图三：同理与75比较大小，若大于75则向右移；否则向左移。

图四：这样我们就找了数值是80的这个节点。

三、增加节点

增加节点的操作是以查找操作为基础的，分为两步。

第一步：找到自己的父节点；

第二步：与父节点比大小，决定成为该父节点的左子还是右子。

我们还以刚才的图为例。
图一：初始状态，若插入值为90的节点。

图二：先遍历根节点，与90比大小，若大约根节点的数值（60），则向右移；否则向左移。

图三：同理与75比较大小，若大于75则向右移；否则向左移。

图四：到这里发现80已经没有子节点了，那么就选定他成为父节点。

图五：与父节点比大小。大于父节点，成为父节点的右子。

四、删除节点

“请佛容易送佛难”，要删除节点的话就没那么轻松了，因为要考虑到删除该节点后整个二叉树还满住二叉排序树的要求。一共有三种情况。

1.单身狗

即如下图中的深色节点，这个要删除的节点是一个可怜的单身狗。。。

那么就把它直接删除！我们可以看到直接删除后对整个二叉树排序树并没有什么影响。

2.独生子

这个节点的后代虽然只有一棵独苗，但也是有的。

当他驾崩后，这皇位要传给谁呢？当然是他的独生子69。而且我们把69放到62的位置发现二叉排序树的性质并没有被破坏，如下图。

当然，若这颗独苗也有后代，情况是一样的。

3.多子多孙

“哈哈哈哈！我可是多福多寿，多子多孙之人！”又来了一个节点。这个节点可是儿孙满堂，那么他驾崩后，“夺嫡”自然是不可避免的。

30他驾崩了，留下了大好河山，宗室诸王们蠢蠢欲动，谁都想过一把皇帝瘾，经过一番比拼，发现25或者35都可以继承皇位，那就二者选其一吧。

“等等！怎么就25或者35了？”一个外国人不明所以地问道。原来在二叉排序树内部皇位的继承不是看谁最强而是看谁最像的。在30的众多子孙中只有25和35是最像他的（和他的差距最小）。

但是在实际操作中我们不一定要真的把30删掉，可以稍稍变通一下，先找到继承人将他的值赋给要删除的节点，再将继承人删除。

看到这里有些人不禁会想这个方法听上去简单，实际中要怎么用算法找到继承人呢？之后会与大家分享两句口诀，保证让大家按图索骥，顺利找到这两个节点。

（1）25继承

口诀一：左转，向右到尽头。

我们再来看一个例子，如下图：

注意：对于继承人来说他只有单身狗和左独生子这两种情况，不存在右独生子和多子多孙的情况，不明的话，再看看口诀就明白了，如果他存在右子，那么皇位还能轮到他继承吗？口诀可是向右到尽头！

（2）35继承

口诀二：右转，向左到尽头。

同样我们再来看一个例子，如下图：

注意：同理，对于第二种情况的继承人来说他只有单身狗和右独生子这两种情况，不存在左独生子和多子多孙的情况，如果他存在左子，就不是他继承皇位了。