保研复习——线性代数2：行列式
行列式
1.n阶行列式的定义
基于逆序数\(\tau\) ：如果一个较大的数排在一个较小的数前，就称这两个数构成一个逆序，这个排列中所有逆序的总个数称为逆序数。所有取自不同行不同列的n个元乘积的代数和即为n阶行列式的值。
2.行列式的性质
- \(|A|=|A^{T}|\).
- 任意互换行列式的两行（列），行列式变号。
- 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面。
- 若行列式的第i行（列）的每一个元都可以表示为两个元之和，则该行列式可表示为两个行列式之和。
- 把行列式的第j行（列）的k倍加到第i行（列）的对应元上，行列式的值不变。
- 行列式乘积法则：设A，B都是n阶矩阵，则|AB| = |A||B|.
- 上三角行列式、下三角行列式、对角行列式其值都等于主对角线上元的乘积。
3.行列式按行（列）展开
定理：n阶行列式D=|A|的任一行（列）各元与另一行（列）对应元的代数余子式乘积之和为0
4.常见类型n阶行列式类型及计算方法
- 定义法
- 化三角形法
- 按行（或列）展开法（降阶法）
- 加边法（升阶法）
- 递推法
- 数学归纳法（证明）
- 范德蒙行列式
- 拉普拉斯定理
详见n阶行列式的计算方法1与n阶行列式的计算方法2（分享自百度文库）。
5.行列式的应用
- 伴随矩阵与逆矩阵 AA* =A*A=|A|E
特点：\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\)；若A可逆，则\(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\).
- 克拉默法则（利用伴随矩阵证明）
有n个方程的n元线性方程组Ax=b的系数行列式D=|A|≠ 0，则线性方程组有唯一解，且\(x_{j}=\frac{D_{j}}{D}\)，j=1,2,…,n，其中\(D_{j}\)是用常数项\(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\)替换D中第j列所成的行列式。
定理：齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0
注：1.齐次线性方程组一定有解（零解）；
2.若非齐次线性方程组系数行列式|A|=0 ，则方程组无解或多解。