数据结构（35）平衡二叉树
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1、平衡二叉树（BBT,Binary Balance Tree）的定义
1、平衡二叉树（BBT,Binary Balance Tree）的定义
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除二叉树结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，简称平衡树。定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子，则平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0或1。
因此，平衡二叉树可定义为或者使一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树。且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。
图35-1 平衡二叉树与不平衡的二叉树（结点中的值为该结点的平衡因子）
2、平衡二叉树的插入
二叉排序树保证平衡的基本思想如下：每当在二叉排序树中插入（或删除）一个结点时，首先检查其插入路径上的结点是否因为此次操作导致了不平衡。若导致了不平衡，则先找到插入路径上距离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡。
注意：每次调整的对象都是最小不平衡子树，即以插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点作为根的子树。图
35-1中的虚线框内未最小不平衡子树。
图35-1 最小不平衡子树
平衡二叉树的插入过程的前半部分与二叉排序树相同，但在新结点插入后，若造成查找路径上的某个结点不再平衡，则需要作出相应调整。可将调整规律归纳为下列4种情况：
2.1、LL平衡旋转（右单旋转）。
由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根节点，将A结点向右下旋转称为B的右子树的根节点，而B的原右子树成为A结点的左子树。
图35-2 LL平衡旋转
2.2、RR平衡旋转（左单旋转）
由于在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由-1变成了-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作，将A的右孩子B向左上旋转提到A成为根节点，将A结点向左下旋转成B的左子树的根节点。而B的原左子树则作为A结点的右子树。如图35-3所示。
图35-3 RR平衡旋转
3）LR平衡旋转（先左后右双旋转）
由于在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增加至2。导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根节点C向左上旋转提升到B结点的位置，然后再将该C结点向右上旋转提升到A结点的位置，A结点右下旋转称为新的根节点C的右子树的根节点，C的原来右子树则作为A结点的左子树，C的原来的左子树作为C的新的左子树的根节点B的右子树。
图35-4 LR平衡旋转
2.4、RL平衡旋转（先右后左双旋转）
由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要两次旋转操作，先右旋转后左旋转，先将A结点的右孩子的B的左子树的根节点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置。A结点左下旋转称为新的根节点C的左子树的根节点。C的原来左子树成为新的根节点C的左子树的根节点A的右子树。而C原来的右子树成为根节点C的右子树的根节点B的左子树。
图35-5 RL平衡旋转
假设关键字序列为{15,3,7,10 .9.8}，通过该序列生成平衡二叉树的过程如图35-6所示。在图35-6(d)插入7后导致不平衡，最小不平衡子树的根为15，插入位置为其左孩子的右子树，故执行LR旋转，先左后右双旋转，调整后的结果如图35-6(e)所示。在35-6中插入9后导致不平衡，最小不平衡子树的根为15，插入位置为其左孩子的左子树，故执行LL旋转，右单旋转，调整后的结果如图35-6(h)所示。图35-6(i)插入8后导致不平衡，最小不平衡子树的根为7，插入位置为其右孩子的左子树，故执行RL旋转，先右后左双旋转，调整后的结果如图35-6(j)所示。
图35-6 平衡二叉树的生成过程
3、平衡二叉树的查找
在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树的相同。因此，在查找过程中，与给定值进行比较的关键字个数不超过树的深度。假设以Nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数。显然，有N0=0，N1=1，N2=2，并且有Nh=Nh-1+Nh-2+1。可以证明，含有n个结点的平衡二叉树跟属于的最大深度为O(log2n)，因此平衡二叉树的平均查找长度为O(log2n)，如图35-7所示。
图35-7 结点个数n最少的平衡二叉树