编辑距离算法之Jaro-Winkler Distance
概述
Jaro-Winkler Distance是一个度量两个字符序列之间的编辑距离的字符串度量标准，是由William E. Winkler在1990年提出的Jaro Distance度量标准的一种变体。Jaro Distance是两个单词之间由一个转换为另一个所需的单字符转换的最小数量。Jaro-Winkler Distance通过前缀因子使Jaro Distance相同时共同前缀长度
越大的相似度越高。Jaro–Winkler Distance越小，两个字符串越相似。如果分数是0，则表示完全不同，分数为1则表示完全匹配。Jaro–Winkler相似度是1 - Jaro–Winkler Distance。
Jaro相似度
对于给定的两个字符串 和
，相似度
，计算公式如下：
其中：
-
是字符串
的长度。
-
是匹配的字符数量。
-
是字符转换的次数。
只有当 和
的字符相同，且距离不超过
时才认为两个字符是匹配的。将
与
匹配的字符进行比较，相同位置但字符不同的字符数除以2就是要转换的次数
。
匹配窗口
上面提到了字符匹配的问题，那么什么情况下才是匹配的呢？这里就需要提到匹配窗口(matching window)的概念了。
Jaro算法的字符之间的比较是限定在一个范围内的，如果在这个范围内两个字符相等，那么表示匹配成功，如果超出了这个范围，表示匹配失败。而这个范围就是匹配窗口，在Jaro算法中，它被定义为不超过下面表达式的值：
比如说字符串A(“bacde”)和B(“abed”)，它的匹配窗口大小为1，在匹配的过程中，字符’a’、‘b’、‘d’都是匹配的，indexInA(‘d’) = 3，indexInB(‘d’) = 3，二者的距离是0，小于匹配窗口大小。但对于’e’，虽然两字符串都有’e’这个字符，但它们却是不匹配的，因为’e’的下标分别为4和2，距离为2 > mw，所以’e’是不匹配的。在这个例子中，由于有3个字符匹配，因此m = 3。换位数目表示不同顺序的匹配字符的个数。同样看这个例子，'a’和’b’都是匹配的，但’a’和’b’在两个字符串的表示为"ba…“和"ab…”，它们的顺序不同，因此这里换位数目transpositions = 2，而t = transpositions / 2 = 1。
对于匹配窗口的含义，笔者的理解是：匹配窗口是一个阈值，在这个阈值之内两个字符相等，可以认为是匹配的；超过了这个阈值，即使存在另一个字符与该字符相等，但由于它们的距离太远了，二者的相关性太低了，不能认为它们是匹配的。从上面的公式可以看出，该算法强调的是局部相似度。
对于任意字符串A和B，能求出它们的length、m和t，这样便能代入公式求得二者的相似度(Jaro similarity)。从刚才的例子得到，|s1|=5，|s2|=4，m=3，t=1，代入公式可得：simj = (3/5 + 3/4 + (3-1)/3)/3 = 0.672
Jaro-Winkler相似度
对于给定的两个字符串 和
，相似度
，计算公式如下：
其中：
-
是
和
的Jaro相似度。
-
是字符串公共的前缀长度，最大值为4。
-
是一个常量因子，对于有公共前缀的分数会向上调整，
图解Jaro-Winkler similarity求解过程
下面以字符串A(“abcdefgh”)和字符串B(“abehc”)为例来介绍整个算法的流程。这里以短字符串为行元素，长字符串为列元素，建立(|s1|+1)×(|s2|+1)的矩阵，这里匹配窗口的大小为3(注意包括距离为0的匹配)，然后根据公式不断运算：
从上面的图以及公式，我们可以总结出求解的过程：字符串s1作为行元素，字符串s2作为列元素，窗口大小为mw，同时建立两个布尔型数组，大小分别为s1和s2的长度，布尔型数组对应下标的值True表示已匹配，false表示不匹配。
对于行元素的每一个字符c1，根据c1在该字符串s1中的下标k，定位到s2的k位置，然后在该位置往前遍历mw个单位，往后遍历mw个单位，如果寻找到相等的字符，记在s2中的下标为p。经过这样的一次遍历，找到了k和p，我们分别标记布尔型数组s1的k和布尔型数组s2的p为已匹配(true)，下次遍历时就跳过该已匹配的字符。当对s1的所有元素都遍历完毕时，就找到了所有已匹配的字符，我们统计已匹配的字符便能得到m，然后对两个布尔型数组同时按照顺序比较，如果出现了true，但二者对应字符串相应位置的字符不相等，表示这是非顺序的匹配，这样就可以得到t。这样就能根据m和t求出Jaro similarity了。至于Jaro-Winkler similarity，需要p参数，也不难，求出俩字符串最大共同前缀的大小即可。
如果读者对上面的过程还有疑问，笔者再提一点，关键就在于判断来自俩字符串的相等字符的距离是不是超过了阈值(即匹配窗口长度)。这里的判断方法是在某个位置进行前后的搜索，包括当前位置。
示例
三个单词、
、
分别为aboard、abroad、aborad，分为两组进行比较
、
和
、
。
根据Jaro Distance算法、
匹配的字符数为
为6，需要转换的字符为o、a、r，所以转换次数
为3/2=1。
它们的Jrao相似度为。
而、
匹配的字符数为
为6，需要转换的字符为a、r，所以转换次数
为2/2=1。
它们Jrao相似度为。
此时与
和
的Jaro相似度相同，无法判断
与哪个更相似，此时可以通过Jaro-Winkler Distance算法对Jaro相似度进行调整，假设常量因子
为0.25。
、
匹配字符的共同前缀ab的长度
为2小于4，
所以它们的Jaro-Winkler相似度为。
而、
匹配字符的共同前缀abo的长度
为3小于4，
所以它们的Jaro-Winkler相似度为。
Jaro相似度相同的通过Jaro-Winkler Distance调整后可以比较出与哪个更相似。如上与
更相似。
进一步探究
经过上面的学习，我们已经掌握了这个算法的原理以及实现方法，下面我们接着来探究它的特性以及适用场景。
我们来看下面的一组实验结果：
关键字是fox，另外的字符串是包含有fox几个字符的字符串，可以看出最高相似度的是"fox"在开始几位的情况下，而"afoxbcd"反而比"foaxbcd"更低，虽然前者含有完整的"fox"而后者是分开的。同时"abcdfox"的相似度为0，即使它末尾含有"fox"。上面这几个例子说明了jaro-winkler相似度对于前缀匹配更友好，并且越往前面匹配成功带来的权重更大。由此可以看出，该算法可以用在单词的匹配上，比如对于一个单词"appropriate"，找出数据库中与它最匹配的一个词语，可以是"appropriation"，也可以是"appropriately"等。但是，该算法不适用在句子匹配上，因为如果关键字在句子的后面部分，相似度会急剧下降，甚至为0。