NURBS曲线
NURBS曲线(非均匀有理B样条)是由分段有理B样条多项式基函数定义的,k阶NURBS曲线的定义如下:
P(t)=∑i=0nwiNi,k(t)∑i=0nwiPiNi,k(t)=∑i=0nPiRi,k(t)
Ri,k(t)=∑j=0nwjNj,k(t)wiNi,k(t)
NURBS曲线的性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质
- 局部支撑性:Ri,k(t)=0, t∈/[ti,ti+k]
- 权性:∑i=0nRi,k(u)=1
- 可微性:如果分母不为零,在节点区间内是无限次连续可微的,在节点处(k-1-r)次连续可导,r是该节点的重复度
NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质
- 局部性质
- 局变差减小性质
- 凸包性
- 在仿射与透射变换下的不变性
- 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性
- 如果某个权因子为零,那么相应控制顶点对曲线没有影响
圆锥曲线的NURBS表示
取节点向量T=[0,0,0,1,1,1],为则NURBS曲线退化为二次Bézier曲线,且可以证明,这是圆锥曲线弧方程。
P(t)=(1−t2)w0+2t(1−t)w1+t2w2(1−t2)w0P0+2t(1−t)w1P1+t2w2P2
其中,Csf=w0w2w12 称为形状因子,Csf 的值确定了圆锥曲线的类型
Csf=1 时,上式是抛物线弧
Csf∈(1,∞) 时,上式是双曲线弧
Csf∈(0,1) 时,上式是椭圆弧
Csf=0 时,上式退化为一对直线段P0P1和P1P2
Csf→+∞ 时,上式退化为连接两点P0P2的直线段
NURBS曲线的修改
常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点
- 修改权因子: 当保持控制顶点和其它权因子不变,减少或增加某权因子时,曲线被推离或拉向相应顶点
- 修改控制顶点: 修改控制顶点的位置,曲线随之变形
- 反插节点法
NURBS曲面
定义
P(u,v)=∑i=0m∑j=0nwijNi,p(u)Nj,q(v)∑i=0m∑j=0nwijPijNi,p(u)Nj,q(v)=∑i=0m∑j=0nPijRi,p;j,q(u,v), u,v∈[0,1]
Ri,p;j,q(u,v)=∑r=0m∑s=0nwrsNr,p(u)Ns,q(v)wijNi,p(u)Nj,q(v)
规定四角点处用正权因子,即w00,wm0,w0n,wmn>0,其余wij≥0
性质
与非有理B样条基函数相类似的性质:
- 局部支承性质
- 权性
- 可微性:在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微,在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微
- 极值.若p,q>1,恒有一个极大值存在
- 是双变量B样条基函数的推广