解出 Ax = b

例子A

增广矩阵

消元 步骤一

步骤二：

这时，我们就有：

这时候就可以把b的值带进去了

什么样的b可以使方程有解

两种说法：

• b是A的线性组合
• 如果对A的线性操作可以得到 0 ，那对b做相应的操作，也应该得到0

如何找到这样的解?

算法步骤（假设有解）

1. 把所有 free 变量为 0，这时候解出$ Ax = b$ 的主元解$x_p$xp​
2. 找到 零空间 的解$x_n$xn​
3. $x = x_p + x_n$x=xp​+xn​
   

列满秩情况

一个 $m×n$m×n 秩为r 的矩阵，我们有

• $r ≤ n$r≤n
• $r ≤ m$r≤m

如果 $r = n$r=n 时是什么情况呢？

• 没有 free 元
• 在A中的零空间中，只包含零向量一个向量
• $Ax = b$Ax=b 只有一个解 $x=x_p$x=xp​（如果解存在的话）

行满秩情况

如果 $r =m$r=m 时是什么情况呢？
这样的话，对于任何的b都是有解的

满秩方阵

$r=m=n$r=m=n
这样的情况下，$R = I$R=I
零向量空间仅为 零向量
所以，这样的方程总是有解的

总结

这张图总结的非常好，一共三种情况：

1. 满秩方阵，一定有一个解
2. 列满秩，0或1个解
3. 行满秩，肯定有解（这里老师把I 和F 写在了一起，因为不能保证I都在最左面，哈哈可爱）
4. 不满秩
   

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