数论概论读书笔记 41.连分数与佩尔方程
连分数与佩尔方程
通过反复地将小数部分翻到分母上并将整数部分分离,我们可以对任何一个数形成连分数:
连分数在视觉上滑向右下方,将它们写成分数却要花费很多的笔墨和空间,由于所有的分子都是1,故我们要做的就是列出分母,将连分数
简记为
辣么,当我展开到时,分子分母是一个怎样的情况呢?
下图是的前几个收敛项
经过列式子总结,此处略去300字,得到一个公式
对分母可得到类似的公式,总结成定理
连分数递归公式 设
则分子由递归公式
给出,而分母由递归公式
给出。
证明 使用归纳法
相邻收敛项之差定理 设 为连分数的收敛项,则:
例如,的两个收敛项的差:
周期连分数定理
证明 这里不写了
佩尔方程
如果是的一个收敛项,则,从而
乘以则在期望上非常接近,则很有可能得到
定理 设为正整数且非完全平方数。将的连分数记为:
而当为奇数时,可以进行一个平方操作,也可得到解,于是有下面定理
连分数与佩尔方程定理 记的连分数为
所以求解佩尔方程的关键在于的值是多少,知道的值即可递推计算出
课后习题