补码

补码的意义在于表达负数，进而将相对麻烦的减法运算转换为计算机擅长的加法。

我们先来看看，如果单纯用「符号位+原码」的表示方法，会出现什么幺蛾子，比如符号位0表示正、1表示负：

正数	二进制原码	负数	二进制原码
0	0 0000	-0	1 0000
1	0 0001	-1	1 0001
2	0 0010	-2	1 0010
3	0 0011	-3	1 0011
4	0 0100	-4	1 0100

当进行两个正数的相加，比如1+2=3：

很OK。

两个负数呢？

除了符号位由于进位出了差错，绝对值上是没毛病的，只要在运算前单独识别一下正负，不让符号位参与运算就行了。

然而，当正数与负数相加，比如1+(-1)，也就是两个正数相减1-1，结果会是我们所期望的0吗？

哦不，它不是，它是莫名其妙的-2。

于是就轮到了补码登场。

时钟就是生活中一个用到补码思想的活生生的例子，在我们定时（比如定闹钟）的时候，如果要将原本的6点调整到9点，可以选择朝前拨3个小时，也可以选择朝后拨9个小时。因为在不考虑进位的情况下，6+3=6-9。这意味着，3和-9有着同等的效力，因为在时钟的十二进制中，3就是-9的补码。同理，-8的补码是4，-7的补码是5，等等。规律是，两者的绝对值之和为12。

推广到二进制上，-1的补码是1（两者绝对值之和为2），-01的补码是11（两者绝对值之和为4），-001的补码是111（两者绝对值之和为8）……
总结而言：n位二进制负数a的补码为：

这个公式已经清晰明了，如果用十进制来进一步理解，就变得更加简单。比如你买了3块钱的东西，给老板一张10元纸币，老板就需要找你7元。如果你给老板一张100元的纸币，老板就要找你97元。这个找头，就是补码。

于是，对于4位二进制数，有：（正数还是写作原码）

正数	二进制补码	负数	二进制补码
0	0000	-0	0000
1	0001	-1	1111
2	0010	-2	1110
3	0011	-3	1101
4	0100	-4	1100

我们不再需要符号位，并且正负数的相加运算就变得完美无瑕，比如1+(-2)：

原来补码就是这么一个简单的概念，那为什么印象里总觉得十分混乱呢？罪魁祸首就是该死的反码。

反码

反码就是对原码的每一位进行取反，即n位二进制负数a的反码为：

n位十进制负数a的反码为：

这个概念其实很没必要，它存在的唯一意义就是方便心算补码。还记得那句宛如绕口令般的「口诀」吗？

补码等于原码的反码加1

这个「加1」是怎么来的，且看：

这就好比你买了3块钱的东西，却非要付99元……

尽管反码能帮助初学者快速心算补码，却也容易给我们的长期记忆造成混乱。我打赌，长久不碰之后，你甚至一时半会想不起来反码和补码的区别。

英文中的补码

其实在英文中，反码也叫补码。

但两者的名称反而更容易让人理解。比如对于二进制，补码叫做「two's complement」，反码叫做「ones' complement」。注意那一撇的位置，前者可以理解为「二进制的补码」，后者可以理解为「一堆1的补码」，或简称「补1码」。

对于十进制，补码就是「ten's complement」，反码就是「nines' complement」（补9码）。

「complement」就是「补充、补足」的意思，它强调的是「补」，翻译为「补码」再合适不过，「反码」看似讨巧，却徒增了我们的理解负担。

所以忘掉反码吧，就把补码留下。

补码算法溯源

下面以对人友好的十进制为例，介绍两种使用补码将减法转换为加法的方法。比如要算：

第一种方法是利用被减数的补9码：

1. 计算被减数的补9码：999 - 512 = 487
2. 将被减数的补9码与减数相加：487 + 128 = 615
3. 计算上一步结果的补9码，即最终结果：999 - 615 = 384

该方法的本质是：

第二种方法是利用减数的补9码：

1. 计算减数的补9码：999 - 128 = 871
2. 将被减数与减数的补9码相加：512 + 871 = 1383
3. 丢弃上一步结果最高位上的1：1383 - 1000 = 383
4. 将上一步结果加1，即最终结果：383 + 1 = 384

该方法的本质是：

也等价于直接利用减数的补码：

作为计算机补码运算的开山鼻祖，帕斯卡的算术机中用的是第一种方法，而如今的计算机用的是第二种方法。

参考资料

• 维基 - Method of complements
• 知乎 - 为什么计算机采用补码而不是原码或反码？
• 简书 - 补码杂谈

2019年11月8日 无锡