高中数学必修二空间向量及其运算(经典案例)

今天给同学分享高中数学必修二空间向量及其运算知识梳理，通过五个经典案例解答，对高中数学必修二空间向量及其运算要点整合。

一、 知识点梳理

2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)


4．直线的方向向量与平面的法向量的确定

二、 要点整合

2．建立空间直角坐标系的原则

3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法

三、经典案例解答
1、空间向量的线性运算
如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________．　
(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________．

解题方法：
1、 用基向量表示指定向量的方法

2、共线、共面向量定理的应用
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.

解题方法

2、 空间向量的数量积与坐标运算
(1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB→·APi→(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．8
(2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A.23　　 B．33
C.23 D．63
(3)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________．

解题方法：

3、 利用空间向量证明平行和垂直

(1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.

(2)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.