【机器人学的数学基础】（1）李群、李代数和螺旋运动

刚体变换/3维空间中的旋转运动/3维空间中的刚体运动

这篇文章的内容来源于《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》。

一、重要数学符号的含义

首先介绍若干符号及含义，一些同学可能已经知道旋转矩阵和齐次变换矩阵的形式，现在是将其一般化，即用SO(3)和SE(3)表示，另外一些符号是为了引出螺旋运动概念而做的铺垫。

1. SO(3):特殊正交矩阵群，可以表示为刚体的位形空间。即可表示刚体的位形，也可以实现同一点在不同坐标系中的变换，SO(3)={R∈R3×3:RRT=I,detR=+1}。
2. so(3) ：是反对称矩阵w∧，是SO(3)的李代数。w∧=⎡⎣⎢0w3−w2−w30w1w2−w10⎤⎦⎥；
3. SE(3) :特殊欧氏群，即可用于确定刚体的位形（configuration），又可用于一点由一个坐标到另一个坐标的坐标变换，SE(3)={(p,R):p∈R3,R∈SO(3)}=R3×SO(3)；
4. se(3) :SE(3)的李代数，其中的元素叫做运动旋量（twisit）,se(3)={(w∧,v)|w∧∈so(3),v∈R3}
5. w ：关节转动中心轴的向量表示形式；
6. w∧ ：关节转动中心轴的反对称矩阵表示形式，
   w∧=⎡⎣⎢0w3−w2−w30w1w2−w10⎤⎦⎥
   ；
7. ξ∧ ：se(3) 的4×4矩阵形式：
   ξ∧=[w∧0v0]
   ；
8. ξ ：ξ=(vw )∈R6为ξ∧的运动旋量坐标（twist coordination）。
9. eξ∧θ：这是引出螺旋运动的重要的定义，表示从se(3) 到SE(3) 的指数变换，对于给定的ξ∈se(3) 和θ∈R ，ξ∧θ 的指数为SE(3) 的元素，即eξ∧θ∈SE(3)，eξ∧θ的一般形式为：
   
   ⎡⎣⎢ew∧θ0(I−ew∧θ)(w×v)+wwTvθ1⎤⎦⎥(w≠0)

二、螺旋运动

螺旋运动（Chasles定理）：任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行于该轴的移动实现。
螺旋运动以eξ∧θ为核心，下面是分别对点和坐标系的作用及含义：

1. p(θ)=eξ∧θp(0)：对于一点，eξ∧θ作为一个映射，将一点（起始坐标p(0)∈R3）变换到经刚体运动后的坐标p(θ)=eξ∧θp(0) ，注意变换前和变换后的坐标均以相同的坐标系为参考坐标。
   
2. gab(θ)=eξ∧θgab(0)：如果B系固连在刚体上，经螺旋运动后，B系相对于固定的A系的瞬时位形为：gab(θ)=eξ∧θgab(0) ，该变换的意义是：乘上gab(0)表示将一点相对于B系的坐标变换为相对于A系的坐标，指数变换则是将点变换到最终位置（仍以A系为参考坐标）。

三、李群、李代数和螺旋运动的应用

李群和李代数是SLAM和机械臂运动规划的基本数学基础。另外李群、李代数和螺旋理论还可以构造机械臂的正运动学模型，是DH建模方法的一种有效的替代方法，这种方法叫做指数积公式法，对SCARA机械臂和拟人机械臂的正运动学建模示例可见点此链接。

参考文献：
A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation.