曾经互不相干的两个演绎系统：三段论与欧几里得几何学 逻辑与算法之八
曾经互不相干的两个演绎系统：三段论与欧几里得几何学 逻辑与算法之八
三段论和欧几里得几何学，这两个近乎同时产生的演绎系统，它们好像很长时间都互不相干。不仅如前文所述，一开始就互不相干，而且在其后近两千年的历史长河中，依然也互不相干。如同两条平行前移的溪流，有时平缓，有时激越，却在漫长的时间流逝之中，几乎就看不到它们的交汇融合。
三段论推理是三段论推理，它只把自己锁定在自然语言的命题、话语范围之内，大都为人文学者运用和讨论，可以说一直影响到当代。逻辑这个学科如今在中国，它或者放到文学院，或者放到哲学院，或者放到法学院，供哲学、法学、文学、外语、历史诸人文学科的学生学习。逻辑承继了几乎两千年的哲学传统，似乎只是运用于修辞、论辩、演说、文字编辑、日常说理，这样一些人文场合之中。
而欧几里得几何也只是欧几里得几何，经典数学的这个门类，似乎也只把自己牢牢锁定在数字和几何图形之内。只是到了现代，初等算术与几何，才为基础教育之必修。随后发展而成的高等数学，则为数学系的学生所研读。
数学发展到当代，似乎成为现代教育体系中，最为重要的课程。以至于当代教育的主科目，出现了STEM这样一个缩略词，那就是科学science、技术technology、工程engineer和数学mathematics四大门学科。好像有一个流行语，如今的时代，没有这四个学科的基本功，想有一门好职业，那可是一件相当困难的事情。
不过，关于数学的这个说法，已经超越古希腊之后的2000年了。
历史学家对于学科历史的记载，如果是在亚里士多德之后2000年之内的范围，似乎无可否认地在印证，这样两门古老学科一直是在平行，却并不同步地向前推移。
罗马时代行将结束之时，产生了一位当时代最后的一位哲学家，自然也是逻辑学家：鲍依修斯（约公元475-524年）。据载，鲍依修斯在他被处死之前，在狱中写了一本《哲学的慰籍》，由诗与散文交织而成，这本书留下很有名的一段诗句：
“智者心中没有仇恨。”（罗素《西方哲学史》上册第457页）
照片1鲍依修斯和他的著作
罗马时代的结束，也是希腊文化走下坡路的时段。好在有鲍依修斯的著作和译著在，亚里士多德的三段论，还有斯多葛学派的命题逻辑雏形得以保存。这些古典逻辑的东西，也就能够在中世纪的经院逻辑时期发挥作用。（《逻辑学的发展》第244-256页）
鲍依修斯也研究数学，他也写关于算术和几何学的书籍。但可惜的是，还没有看到他的著作把两个演绎体系联系起来思考的论述。（斯科特《数学史》第60页）
《几何原本》所代表的古希腊数学，在这个时段，其实远比这个时段更长，和逻辑学相比，欧氏几何就有些悲催。西罗马帝国于公元476年灭亡之后，到公元529年，东罗马帝国查士丁尼大帝，查封了柏拉图学园。希腊的数学之花由此而凋谢，欧几里得的《几何原本》亦失传。希腊几何的演绎精神，也随着整个希腊文明的衰微而隐没不彰。（李文林《数学的进化》第6页）
西罗马时代灭亡之时，自然，逻辑和数学就没有产生交集的可能。
让我们继续前行，飘然再过几百年，阿拉伯民族突然间，竟成了世界的主角。公元7世纪之后，*创立*，这个新起的教派，竟然在不到两百年的时间内，横跨欧亚非三洲，建立起庞大的阿拉伯帝国。这个帝国在历史长河中建立起来的*文化，一个中心在东方的巴格达，巴格达成为当时最重要的学术中心。
2巴格达空中花园
阿拉伯人，后来又征服了西班牙，在那里也建立了一个*的国家。这使得西方也出现了一个学术中心城市：科尔多瓦（Cordoba）。这个地处西班牙的*国，史称科尔多瓦哈里发国（公元756-1492），持续了将近大半个千年。阿拉伯文化自然就在西班牙留存下来，并通过西班牙，把这个文化传递到欧洲和全世界。
3科尔多瓦城市图片
4科尔多瓦哈里发国地图
借助*学者复兴起来的古希腊文化，亚里士多德的逻辑学得以重回欧洲。亚里士多德在欧洲随后的几百年当中（公元11世纪-15世纪），成为经院哲学的至圣先师。亚里士多德不仅是形而上学、伦理学、神学等各领域的权威，而且还是数学方面唯一的权威。
使用英国数学史家，斯科特的说法：
“中世纪对于历史文献的尊敬给这些文献增加了一层不会有错的光辉。纯粹解释文字的学问兴起了，它的范围是如此狭隘，以致几乎完全忽视了自然科学。13世纪下半叶是亚里士多德学说崇拜者的兴盛时期。在这样的气氛里，数学只能勉强维持下来。”（斯科特《数学史》第65页）
《几何原本》在这样的氛围之下，自然没有什么幸运。印度人发现了零，中国人发明了指南针，阿拉伯人的数字也引到了欧洲，但欧洲的自然科学，还处在沉沉暗夜之中。
有趣的是，这两个近现代之前，看似无交集的学科，却都使用反证法和归谬法，来证明自身体系内定理或者命题的有效。它们也都被看作是运用同样的演绎推理，来构建自身的学科大厦。
欧几里得几何学，在数学这个称为一切科学基础的园地之中，到了17世纪，才因为笛卡尔（公元1596-1650年）的工作而出现转折，欧式几何从古典走向了现代。
5笛卡尔
简介
三段论这一次，则没有欧氏几何幸运，但并没有晚很长时间，同样是在17世纪，英国学者霍布斯（公元1588-1679年），德国学者莱布尼兹（1646-1716），这两位全才似的学者，都从三段论的推理中，预见到逻辑推理与数学之间的交集关系。
6霍布斯
在《利维坦》一书中，第五章论推理与科学，霍布斯扩展了人们对于计算的理解，他说：
“正如算术家教人们如何进行数字上的加减乘除一样，几何学家教人们如何进行线、形、角、比例、倍数、速度、力和力量等的加减运算，逻辑学家教人们如何进行词语序列上的加减运算：两个名词加在一起构成一个证明，或者从一个三段论法的总结或结论中减去一个命题从而论证另一个命题等。﹍﹍总之，任何事物中只要存在加减、推理就可以存在，而不存在加减的地方，推理也无从存在。”（《利维坦》第23页）
这里，霍布斯把三段论看成和计算是完全类似的东西，我们似乎是第一次从哲学家的口中，看到逻辑与数学有这么直接而且紧密的联系。
拉近逻辑与数学之间的距离，把它们看作是几乎相同的运算过程，很快在莱布尼兹那里也反映出来。1679年，莱布尼兹在研究三段论时发现，三段论系统可以给出一个算术解释。不仅仅局限于三段论，莱布尼兹还有诸多有关数学与逻辑学的新见解，这些内容留待随后篇幅慢慢道来。2019/11/03