视觉SLAM十四讲学习笔记（四）李群和李代数
一、李群
李群，即具有连续光滑性质的群。
前面提到过，旋转矩阵R和变换矩阵T分别定义于特殊正交群SO(3)和特殊欧式群SE(3)
SO(3)和SE(3)对矩阵乘法构成群，但对加法不构成群，所以很难对其进行取极限，求导等操作。于是引出了与李群对应的李代数。
二、李代数
李代数是与李群对应的一种结构，位于向量空间。SO(3)和SE(3)对应的李代数分别表示为so(3)和se(3)。
从SO(3)和SE(3)到so(3)和se(3)的推导可见书本，比较易懂，下面直接给出so(3)和se(3)的表示方式以及李群与李代数之间的转换关系。
需要注意的是：此处se(3)表示中，前三维为平移，其含义与变换矩阵T中的平移不同，需要经过一个J的转换。在表示的时候，有时平移在前，旋转在后，有时旋转在前，平移在后，在用的时候，一定要仔细。
三、李代数求导与扰动模型
前面提到过，李群没有加法，导数就无从定义。解决的方法
- 利用李代数上加法定义李群元素的导数
- 利用指数映射和对数映射完成变换关系
但对于矩阵来说，以下两个公式并不成立
其完整的形式由BCH公式给出，如果只保留BCH公式前几项，则可表示为
其中
于是，对于某个旋转R，其对应的李代数为。我们给它左乘一个微小的旋转
，对应的李代数为
。则在李群上的结果就是
，而在李代数上，根据BCH公式，为
。也就是
反之，在李代数上进行加法，让加上一个
，那么可近似李群上带左右雅可比的乘法
同样，对于SE(3)，其BCH近似公式为：
此处J为一个6*6的雅可比。
对于SO(3)上的求导
（1）李代数求导
（2）扰动模型
对于SE(3)上的求导，直接使用扰动模型
四、实践
Sophus实践，语法和Eigne相似，可见课本，比较简单。关于Sophus库，可详细阅读其头文件库。
课后作业是关于李群和李代数性质的证明和推导，可见答案。
课后关于评估轨迹误差的例子，需要仔细看看。