第一周作业

2、从0至9这10个数中有重复地取5个，以$E_i$Ei​表示某数字被取出i次（例如取出5、2、3、5、3，则$E_0$E0​、$E_1$E1​、$E_2$E2​三个事件均发生）。试画出表示$E_0$E0​、$E_1$E1​、$E_2$E2​、$E_3$E3​、$E_4$E4​、$E_5$E5​、$E_6$E6​之间关系的韦恩图

4、盒中装有标号1~r的r个球，随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中，然后进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个相同的概率

$第一次取出n个的情况有C_r^n种，$第一次取出n个的情况有Crn​种，

$∵第二次要和第一次有k个相同的，∴第二次的情况有C_n^kC_{r-n}^{m-k}种$∵第二次要和第一次有k个相同的，∴第二次的情况有Cnk​Cr−nm−k​种

$又∵所有可能的情况有C_r^nC_r^m种$又∵所有可能的情况有Crn​Crm​种

$∴恰有k个相同的概率为\frac{C_n^kC_{r-n}^{m-k}}{C_r^m}$∴恰有k个相同的概率为Crm​Cnk​Cr−nm−k​​

5、盒中装有编号为1至N的N个球，先有放回的任取n个，一次记下其号码，
求（1）n个号码按严格上升排列的概率（2）n个号码非降排列的概率

$(1)$(1)
$n个号码按严格上升排列的情况有C_N^n种$n个号码按严格上升排列的情况有CNn​种

$所有可能的情况有N^n种$所有可能的情况有Nn种

$所以概率为\frac{C_N^n}{N^n}$所以概率为NnCNn​​

$(2)$(2)
$求非降排列，可以转化为求严格上升排列$求非降排列，可以转化为求严格上升排列

$设有一个非降排列（x_1、x_2......x_n），将每个x_i加上i-1$设有一个非降排列（x1​、x2​......xn​），将每个xi​加上i−1

$这样就得到了一个严格上升的序列，编号范围从1——N+n-1$这样就得到了一个严格上升的序列，编号范围从1——N+n−1

$此时球仍旧为N个，但是编号的范围变成了1——N+n-1$此时球仍旧为N个，但是编号的范围变成了1——N+n−1

$求这种情况下n个号码严格上升的概率$求这种情况下n个号码严格上升的概率

$所以概率为\frac{C_{N+n-1}^n}{N^n}$所以概率为NnCN+n−1n​​

6、m个男孩和n个女孩（n $\leq $ m），随机的沿着圆桌坐下，分别用组合及排列的想法给出任意两个女孩都不相邻的概率

$排列的想法$排列的想法

$先让一个男孩坐下，剩下所有人有(m+n-1)!种情况$先让一个男孩坐下，剩下所有人有(m+n−1)!种情况

$先让一个男孩坐下，剩下的男孩有(m-1)!种情况，$先让一个男孩坐下，剩下的男孩有(m−1)!种情况，

$∵女生两两不相邻，∴要在男生中间坐，$∵女生两两不相邻，∴要在男生中间坐，

$∵男生中间有m个空位，∴女生有C_m^nn!种情况$∵男生中间有m个空位，∴女生有Cmn​n!种情况

$∴概率为\frac{(m-1)!~C_m^nn!}{(m+n-1)!}$∴概率为(m+n−1)!(m−1)! Cmn​n!​

$组合的想法$组合的想法

$先让一个男孩坐下，剩下的女生有C_{n+m-1}^n种情况$先让一个男孩坐下，剩下的女生有Cn+m−1n​种情况

$男生坐好后，女生有C_m^n种情况$男生坐好后，女生有Cmn​种情况

$所以概率为\frac{C_{n+m-1}^n}{C_m^n}$所以概率为Cmn​Cn+m−1n​​