机器学习—深度学习之基础理论算法原理推导逻辑回归（Logistic Regression）算法原理推导

1. 概述

逻辑回归（Logistic Regression）是一个经典的二分类算法，并非回归算法。在机器学习实际解决分类问题时，可优先考虑逻辑回归算法。逻辑回归的决策边界可以是非线性的。

同时也可用其变形softmax完成多分类任务。

2. 算法推导

2.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数公式为：

其中定义域x∈(-∞, +∞)，值域f(x)为(0,1)。可以看出Sigmoid函数将任意大小的实数输入映射到了(0,1)之间的值，而(0,1)之间的数刚好可当作分类概率看待。

2.2 预测函数

与线性回归类似，假设样本数据集X为m*n的矩阵，Y为m*1的向量，W为n*1的向量。

因此，预测函数为：

2.3 似然函数

在逻辑回归问题中，一般假设样本属于伯努力分布（n重二项分布），即：

则根据式(3)，得：

则对于所有样本，每个样本概率相乘得到似然函数：

 

2.4 对数似然函数

为了方便计算，通过式(5)将累乘通过对数变换成累加：

 

2.5 梯度

最大似然估计求的是最大值，即为梯度上升的问题，而此时需要求梯度下降最小值的问题，因此需引入负号，除以m是为了平均累加的和，令：

将式(7)用矩阵的形式表示：

其中f为式(1)所表示的函数，根据式(8)对W求偏导：

 

2.6 更新参数

根据式(9)中所求得的梯度，即可更新W参数的值：

上式可认为是批量梯度下降算法参数更新，其中α为学习率。对于小批量梯度下降算法的参数更新，可参考下式：

上式中针对W中第j个参数的更新，其中t为批大小。