1.3

概率的定义

$P(A)$P(A):A发生的可能性

• $P(A)$P(A)是个常数；

频率(概率的统计定义)

性质： 1. 非负性 [0,1]
2. 归一性
3. 可加性

概率的公理化定义

1. 非负有界性
2. 归一性
3. 可列可加性

性质

1. $P(\phi)=0$P(ϕ)=0 ,(可列可加性证明)
2. 有限可加性
3. 如果$A\subset B$A⊂B，则$P(A)\le P(B)$P(A)≤P(B)。【间接证明了$P(A)\le P(S)=1$P(A)≤P(S)=1】
4. $P(A)+P(\bar{A})=1$P(A)+P(Aˉ)=1
5. 减法公式：$P(A-B)=P(A-AB)=P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)$P(A−B)=P(A−AB)=P(ABˉ)=P(A)−P(AB)
6. 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
   加法公式可以推广到多个事件：奇正偶负
   

1.4

古典概型

概率的古典定义

样本点是有限个，每个样本点发生的概率相同

从N件产品中抽取n件

$\begin{cases} 放回：N^n\\ 不放回：\begin{cases} 有序：N（N-1）...(N-n+1)\\ 无序：C^n_N \end{cases} \end{cases}$⎩⎪⎨⎪⎧​放回：Nn不放回：{有序：N（N−1）...(N−n+1)无序：CNn​​​

将n个球装入N个盒子的装法数

注：只有m个球在同一盒里的情况下默认其他盒子只装1个。

抽签问题

抽中的概率与顺序先后以及放不放回无关。

分组法

几何概型

概率的几何定义

随机试验E，S是它的样本空间，A是任意事件，$\mu (A)$μ(A)是A上的一个度量（长度、面积、体积等），若：$P(A)=\frac {\mu(A)}{\mu(S)}，$P(A)=μ(S)μ(A)​，则称E为几何概型。

S：

• 样本空间为有限区间$(a,b)$(a,b)
• 每个样本点发生的可能性相等