自适应滤波学习笔记（一）

假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且已知他们的二阶统计特性，根据最小均方误差准则（滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小），求得最佳线性滤波器的参数，这种滤波器成为维纳滤波器。在此基础上，人们研究了根据最大输出信噪比准则、统计监测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器，在一定条件下，这些滤波器与维纳滤波器等价，因而讨论线性滤波时，一般以维纳滤波器为参考。
维纳滤波器要求有两点，1，输入过程广义平稳,2，输出过程的统计特性已知。由于输入过程经常是带有干扰的，且特性未知，为了满足维纳滤波的要求，就开始了自适应滤波器的研究。
自适应滤波器通过训练样本调整自身的参数，称为学习过程，输入过程统计特性变化时，自适应滤波器开始调整自己的参数，称为跟踪过程。自适应滤波器包括自适应时域滤波和自适应空域滤波（又称智能天线、自适应天线、自适应阵列、自适应波束形成），与信息论，优化理论，检测与估计理论相关。
1 自适应滤波器组成*

如图，自适应滤波分为可编程滤波器（滤波部分）以及自适应算法（控制部分）。滤波部分参数可变，控制部分控制滤波部分参数，主要根据滤波器输入的统计特性进行处理。
开环算法的控制输出仅取决于滤波器输入和某些其他数据，闭环算法同时也取决于滤波器输出，输出反馈能在滤波器输入变化时保持输出最佳，但是稳定性差切收敛速度慢
2 可编程滤波器
自适应滤波的参数随输入信号变化而变化，因而是非线性和时变的。其中的可编程滤波器当参数固定时，可能是线性或者非线性的。
时域线性可编程滤波器有FIR和IIR横式滤波和各种格形滤波。
2.1时域FIR横式滤波器

如图为时域FIR率坡起原理框图，输出为输入及其时延的线性组合

图中虚线框柱的部分叫线性组合器。FIR滤波器为一种全零点滤波器，始终稳定，但为了实现边沿陡峭需要相当高的阶数。
用天线阵可以实现空域自适应滤波，典型天线阵如图所示

主要成分也是个线性组合器，因此，时域处理的结果常可推广到空预处理的情况。但是对于天线阵而言，必须进行时空联合处理。
2.2 时域IIR横式滤波器

这种滤波器有零点又有极点或者只有极点，可以用不高的阶数实现陡峭边沿。但是稳定性不高，相位特性难以控制。
由于较易实现陡峭边沿，在实现对多径效应的自适应均衡等方面有很大潜力。
3 空域滤波和时空对应
自适应空域滤波器（智能天线、自适应天线或自适应阵列）处理系统利用信号和干扰的角方向不同以实现对干扰的抑制。空间角方向可以视为空间角频率，信号在空间各个角方向的功率分布可以视为空间功率谱或角功率谱。自适应滤波就是利用信号和干扰的空间角谱不同来实现对干扰抑制的。

如图所示的天线远区场示意图，天线长为L。取沿天线方向为x轴。天线上电流分部为I（x），距离天线L距离为R的平行线上有一点A，沿着该平行线建立坐标并取为X，根据惠更斯原理，天线L在A点产生的电场为

其中

称为波数；ρ为天线上x点到A点的距离。有

ρ0位天线中心O到A的距离，由于它远大于天线长度，所以有

由于A点位于天线远区，又有

或者


这是一组对应关系
远区场E和阵列电流分部是一组傅氏变换。因为信号频谱和时间也存在傅氏变换关系，所以可以从中找到时空对应关系