复杂度分析

一、算法的时间复杂度定义
    在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中，f(n)是问题规模n的某个函数。

    这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大0记法。

二、推导大O阶方法
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

三、推导示例
考虑计算1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3

一般的算法（因为循环<递归>了n次所以是O(n)）：

def ordinary(n):
    ret = 0
    for i in range(1,n + 1):
        ret = ret + i*i*i
    return  ret

更好的算法（因为只循环<递归>了一次所以是O(1)）：

def better(n):
    return ((n)*(n+1))*((n)*(n+1))//4;

有没有略好复杂度的算法呢？

显然是有的。

同矩阵快速幂可以构造出(log2(n))级别的算法，这里不兹论述。
四、常见的时间复杂度
    常见的时问复杂度如表所示。

    常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

    我们前面已经谈到了。O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、 O(n^2)平方阶等，像O(n^3)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n 只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论。

五、最坏情况与平均情况
    我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。
    最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中，这是一种最重要的需求， 通常， 除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
    而平均运行时间也就是从概率的角度看， 这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

六、算法空间复杂度
    我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。
    算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)= O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
    一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元，若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为0(1)。
     通常， 我们都使用"时间复杂度"来指运行时间的需求，使用"空间复杂度"指空间需求。当不用限定词地使用"复杂度'时，通常都是指时间复杂度。

七、一些计算的规则
1、加法规则
     T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})

2、乘法规则
     T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})

3、一个经验
     复杂度与时间效率的关系：
    c(常数) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
    l------------------------------l--------------------------l--------------l
                   较好                          一般                    较差

八、常用算法的时间复杂度和空间复杂度

作者：键盘上的钢琴师_v5 
来源：**** 
原文：https://blog.****.net/daijin888888/article/details/66970902