概述

K近邻（K-nearest neighbor，k-NN）可以是分类和回归方法，是一种有监督方法。

通俗的说，k近邻回归的思想是，假如想预测你的收入，那么通过某种距离计算（如考虑行业、学历、年龄等），找k个和你相似的人，他们的收入求均值即作为你的收入预测。

根据k个邻居的类别，采用多数表决等方法确定新实例的类别，或根据邻居的值预测新实例的值。

k近邻的三个要素：①距离度量，②k（邻居数）的选择，③分类决策规则

k近邻的实现方法是kd树，是一种高效搜索邻居的算法。

距离度量可以是一般的L_p 距离（或Minkowski、闵可夫斯基、闵氏距离）。

k值选择过小，偏差小方差大，容易过拟合（最极端的情况，只有一个邻居，这个人的收入就决定了自己收入预测值）

k值选择过大，偏差大方差小，模型过于简单（最简单的是k选择全体样本的数量，所有人都是你的邻居）。

可用交叉验证确定参数k。

分类决策规则一般用多数表决规则。多数表决规则等价于经验风险最小化。经验风险最小化就是让模型在样本中的表现最好，它与结构风险最小化概念的区别是，后者是经验风险最小化+正则化。

kd树

kd树（kd-tree）是一个二叉树，对k维空间的点存储位置，便于快速检索的树形结构。kd树可以帮助K近邻快速搜索邻居。

构造

kd树一般用垂直于坐标轴、且经过该该维坐标中位数的点的超平面不断切分，直到涵盖所有数据位置。

例如有三维数据，按照第一维的中位数、第二维的中位数、第三维的中位数、第一维的中位数……进行划分。

例如根据一组数[(2, 3), (5, 4), (9, 6), (4, 7), (8, 1), (7, 2)]，这是6个二维的数据，首先根据第一维的中位数将区域划分。第一维中位数是6，不妨选择7。即x=7将区域划分为两部分。

然后看第二维，左半部分（x<7的三个数）第二维中位数是4，右半部分不妨设为6。直到所有数据点都在切分线上。

最终结果是

搜索

1. 根据目标点，从kd数的根节点往下，根据该节点划分时候对应维度和目标点对应维度的大小，将该节点划到左子节点或右子节点，最终找到叶子结点。

例如目标点为(3, 4.5)，最初与根节点(7, 2)比，该层划分时候是以x轴中位数标准划分的，所以要将目标点的x轴数字3与7比较，3<7所以划到左边。然后将其与(5, 4)比，4.5 > 4，所以划到右边，得到(4, 7)

2. 然后初始化最近点为叶子结点，并画出以目标点为圆心，目标点和叶子结点距离为半径的圆。最近邻居一定在圆内。

例如上例中，初始化最近点是(4, 7)，画出以(4, 7)为圆心，目标点与该点距离为半径的圆。那么可以说最近的邻居一定在圆内，否则(4, 7)就是最近的邻居。

3. 然后往上回溯，找父节点，父节点另一侧的矩形是否与圆相交。若不相交则向上回溯（此时计算时可以省略很多节点），若相交，则找到与圆相交的点，检查是否更新最近邻居、更新圆。

例如此时向上回溯到(5, 4)，该点到目标点距离更近，那么将该点置为当前最近点。仿照上述过程重新画一个圆。

是否要去(5, 4)另一半子节点查找是否有更近的呢？这要看y=4是否与圆相交，这里是相交的，所以要去另一半叶子结点找，那么(2, 3)与目标点距离更新，所以当前最近点置为(2, 3)。同样画一个圆。

此时再向上回溯到(7, 2)另一个矩形与该圆不相交（或者说x=7与圆不相交），因此右半部分无论如何都不可能比现有的点更近了，此时结束。因此最近邻居就是(2, 3)

参考资料：

1. 李航《统计机器学习》

2. 《KNN算法与Kd树》https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/6084670.html