线性代数知识点总结之行列式

本章知识图解：

对图解的初级补充与完善

1.1.1.1.1.1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation)；
1.1.1.1.1.2.全排列：n个不同的元素排成一列称为n个元素的全排列。即在排列的定义中m=n的情况就是全排列；
1.1.1.1.1.3.1.对换的定义：在排列中将任意两个元素对换，其余不动，称为对换；
1.1.1.1.1.3.2.对换的性质：①、一个排列中的任意两个元素对换，排列的逆序数改变奇偶性；②、奇排列变成标准排列（标准排列就是按照从小到达的顺序排成的一列）的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数；
1.1.1.1.1.逆序：排列中的某两个元素的先后次序与标准次序（某种规则规定的次序）不同，就说有一个逆序；
1.1.1.1.逆序数：①定义：一个排列a,b,c,d,…中所有的逆序的综合称为这个排列的逆序数，记作$\tau(a,b,c,d,...)$τ(a,b,c,d,...)；②$\tau$τ为奇数，称为奇排列，$\tau$τ为偶数，称为偶排列；③逆序数公式：（1）$\tau(a,b,c,d,...)=b前面比b大的数的个数+c前面比c大的个数+...$τ(a,b,c,d,...)=b前面比b大的数的个数+c前面比c大的个数+...;
(2)$\tau(a,b,c,d,...)=b后面比b小的数的个数+c后面比c小的个数+...$τ(a,b,c,d,...)=b后面比b小的数的个数+c后面比c小的个数+...
1.2.1.1.余子式的定义：在n阶行列式中，把a_i,j所在的第i行第j列划去后，留下的n-1阶行列式称为a_i,j的余子式，记作M_i,j;
1.2.1.2.代数余子式的定义：a_i,j的代数余子式A_i,j=(-1)^i+jM_i,j;
1.2.1.3.代数余子式的性质：$\sum_{k=1}^na_{ki}A_{kj}=D\delta_{ij}=D,当i=j;=0,当i≠j$∑k=1n​aki​Akj​=Dδij​=D,当i=j;=0,当i̸​=j$\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=D\delta_{ij}$∑k=1n​aik​Ajk​=Dδij​也有相同的结论；

对图解的补充与完善的下一步任务

想要让知识之间彻底的融会贯通，单凭这一个图解是远远不够的。需要从思维的想明白两个问题：

1. 定义是如何决定性质的：搞清楚这一点才能真的懂得每一个性质的由来，才能真的理解每一个性质，而不是单单靠记忆；
2. 性质是怎么应用到计算中的：行列式的理解重点在于性质，而应用的重点在于计算。将性质应用到计算中才能发挥性质的作用。

另外，本章另外一个重点就是计算行列式。这个专题要放到我的“线性代数习题总结之行列式”这一篇中讲解。
所以，就此篇文章需要日后完善的重点就是以性质为思考核心的知识串联。