自适应滤波器：维纳滤波器2——LCMV及MVDR实现
本文转载自：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6609317.html
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版，上一篇看到维纳滤波基本形式：最优化问题，且无任何条件约束。这次看到有约束的部分，简单整理一下思路：
1）拉格朗日乘子法；
2）线性约束最小方差滤波器（Linearly constrained minimum-variance，LCMV）;
3）谱估计之MVDR算法（Minimum variance distortionless response ，MVDR）；
内容为自己的学习总结，如有错误之处，还请各位帮忙指出！
一、拉格朗日乘子法
学习到含有约束条件的Wiener Filter，拉格朗日乘子法是解决：将含约束条件的优化问题转化为无约束条件优化问题的途径，故先梳理一下。
A-只含一个等式约束的最优化
实函数f(w)f(w)是参数向量ww的二次函数，约束条件是：
wHs=gwHs=g
其中ss是已知向量，gg是复常数。例如在波束形成应用中ww表示各传感器输出的一组复数权值，ss是一个旋转向量。假设该问题是一个最小化问题，令c(w)=wHs−g=0+j0c(w)=wHs−g=0+j0可以描述为：
所谓拉格朗日乘子法，就是引入拉格朗日乘子：将上述约束最小化问题转化为无约束问题，定义一个新的实函数：
h(w)=f(w)+λ1Re[c(w)]+λ2Im[c(w)]h(w)=f(w)+λ1Re[c(w)]+λ2Im[c(w)]
现在定义一个复拉格朗日乘子：
λ=λ1+λ2λ=λ1+λ2
h(w)h(w)改写为：
h(w)=f(w)+Re[λ∗c(w)]h(w)=f(w)+Re[λ∗c(w)]
至此，无约束优化问题转化完成，利用偏导求参即可，其实这是一个简化的形式，分别求解λ1λ1、λ2λ2也是一样的。
B-包含多个等式约束的最优化
实函数f(w)f(w)是参数向量ww的二次函数，约束条件是：
wHsk=gkwHsk=gk
其中k=1,2...Kk=1,2...K，方法同单个约束情况相同，求解伴随方程：
∂f∂w∗+∑k=1K∂∂w∗(Re[λ∗kck(w)])=0∂f∂w∗+∑k=1K∂∂w∗(Re[λk∗ck(w)])=0
此时与多个等式约束联合成方程组，这个方程组定义了ww和拉格朗日乘子λ1λ1、λ2λ2...λKλK的解。
二、线性约束最小方差滤波器
之前看到的维纳滤波都是基于最小均方误差准则，而没有添加任何约束，此处考虑含有线性约束情况下的方差滤波器，文中给了一个图：
其中x(n)x(n)为输入信号(即uu，为了与下文统一，用xx表示)，wiwi为权重，y(n)y(n)为滤波器输出：
y(n)=∑k=0M−1w∗kx(n−k)y(n)=∑k=0M−1wk∗x(n−k)
这个优化问题如果没有约束可以表述为：
argminwJ=E[yHy]argminwJ=E[yHy]
假设θ0θ0为目标达到角，希望对该角度特殊处理：如果该角是目标角，希望其幅度保持不衰减，即∑k=0M−1w∗ke−jkθ0=1∑k=0M−1wk∗e−jkθ0=1;反之，如果是干扰信号，希望其幅度衰减为0，即∑k=0M−1w∗ke−jkθ0=0∑k=0M−1wk∗e−jkθ0=0；无论是0还是1，都是对优化问题的一种约束形式，写出更一般的约束形式：
∑k=0M−1w∗ke−jkθ0=g∑k=0M−1wk∗e−jkθ0=g
gg是一个复增益。利用拉格朗日乘子法给出约束条件下准则函数（暂不考虑噪声情况）：
J=wHRxxw+Re[λ∗[wHs(θ0)−g]]J=wHRxxw+Re[λ∗[wHs(θ0)−g]]
其中s(θ0)=[1,e−jθ0,...,e−j(M−1)θ0]s(θ0)=[1,e−jθ0,...,e−j(M−1)θ0],MM是权向量ww的个数，则到系数解：
λ=−2gsH(θ0)R−1s(θ0)λ=−2gsH(θ0)R−1s(θ0)
对应最优权向量：
wopt=g∗R−1s(θ0)sH(θ0)R−1s(θ0)wopt=g∗R−1s(θ0)sH(θ0)R−1s(θ0)
以权向量woptwopt表征的波束形成器称为线性约束最小方差（LCMV, linearly constrained minimum-variance）波束形成器，也称LCMV滤波器。
三、LCMV应用——MVDR算法
实际应用中信号掺杂了噪声。假设原信号s(t)s(t)，接收器收集的是不同时延的混合信号，经过采样量化后得x(n)x(n)，现在希望通过自适应权重ww输出符合需求的yy，假设通道个数为NN，给出接收通道模型：
写成矩阵形式：
进行相关矩阵求解：
可以发现如果wHwwHw为定值，则噪声对最优权值的求解无影响，LCMV可用。
给出混合模型：
对应准则函数（此处g=1g=1）：
借助LCMV的分析，得出MVDR最优权重：
实际应用中，通常用时间换空间，借助遍历性近似求解相关矩阵：
给出代码：
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doas=[-30 -5 40]*pi/180; %DOA's of signals in rad.
P=[1 1 1]; %Power of incoming signals
N=10; %Number of array elements
K=1024; %Number of data snapshots
d=0.5; %Distance between elements in wavelengths
noise_var=40; %Variance of noise
r=length(doas); %Total number of signals
% Steering vector matrix. Columns will contain the steering vectors of the r signalsA=exp(-i*2*pi*d*(0:N-1)'*sin([doas(:).']));
% Signal and noise generationsig=round(rand(r,K))*2-1; % Generate random BPSK symbols for each of the
% r signalsnoise=sqrt(noise_var/2)*(randn(N,K)+i*randn(N,K)); %Uncorrelated noise
X=A*diag(sqrt(P))*sig+noise; %Generate data matrix
R=X*X'/K; %Spatial covariance matrix
%MVDRIR=inv(R); %Inverse of covariance matrix
for k=1:length(angles)
mvdr(k)=1/(a1(:,k)'*IR*a1(:,k));endfigure;
plot(angles,abs(mvdr)/max(abs(mvdr)),'k');hold on;
xlabel('Angle in degrees')
%Estimate DOA's using the classical beamformerfor k=1:length(angles)
Classical(k)=(a1(:,k)'*R*a1(:,k));endplot(angles,abs(Classical)/max(abs(Classical)),'r--');grid on;
legend('MVDR','Classical Beamformer');
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对应结果图：
噪声较大时：
二者就比较接近，可以发现：
- 信号与噪声不相关、且噪声为白噪声时，仍能求解最优权值；
- 噪声较大时，MVDR与无约束最优滤波效果接近，此时MVDR的优势不再明显，这也容易理解，噪声占主要成分时对波束的约束保留效果不再明显。
两点补充：
1）因为LCMV中有矩阵求逆一项，所以补充说明一点：默认不同角度信号不相干，只记录学习的理论知识，不论及技术细节处。
2）基于窄带分析。如果是宽带，则可以划分多个自带，或者利用聚焦矩阵预处理，窄带才有如下近似（且一个频带内才可以用一个频率表征）：
参考：
Jeffrey Foutz, Andreas Spanias, and Mahesh K. Banavar《Narrowband Direction of Arrival Estimation for Antenna Arrays》.
Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.