How can Machine Learn? - Linear Model for Classification

---

• How can Machine Learn? - Linear Model for Classification
  
  • 1. Linear Models for Binary Classification
    
    • 1) Analyzing of Three Linear Models
    • 2) Error Functions Comparison
  • 2. Multiclass via Logistic Regression - OVA Algorithm
  • 3. Multiclass via Binary Classification - OVO Algorithm
• Summary
• Reference

主要讨论 Linear Classification, Linear Reegression, Logistic Regression 在分类问题上的优劣对比，并拓展到多元分类

1. Linear Models for Binary Classification

1) Analyzing of Three Linear Models

我们目前学习了Classification, Linear Reegression, Logistic Regression， 这三个模型有很多类似的地方。
总结如图一，这里引入了s(score)作为得分，s=wTx

图一 Linear Models Revisit ^[1]

从图中可以看出，Linear Classification的求解是NP-hard问题，其他两个方法都容易求解。并且可以看到他们的Hypothesis 都与 s 有关。所以可以利用这两种模型的算法近似求得二分类问题的最优权值w

2) Error Functions Comparison

1.首先对比3种方法的误差方程，如图二所示

图二 Error Functions Revisit ^[1]

2.根据图二的错误函数得到图三的关系图。

图三 Visualizing Error Functions ^[1]

从图三，我们可以得到以下几个结论：
1. 对于 err0/1， 在 ys>0 和 ys<0 的值相差很大
2. errCE 随着 ys的增大而减小，而且无线接近于0，在 ys>0 的情况下，逐渐毕竟于 err0/1
3. errSQR 是一个凹函数，在 ys=1 的情况下，与 err0/1 相等
4. err0/1 始终小于 errSQR， 绝大部分情况下小于 errCE
5. 虽然err0/1 始终小于 errSQR， 但是两者的差距较大
6. 虽然err0/1 不是全部情况下小于 errCE，但是稍微做调整，可以实现 err0/1 始终小于 errCE ，并且这两者的曲线接近，所以我们下面将想办法采用这种方式。

err为了让 err0/1 也始终小于 errCE ，我们稍微做一些调整, 得到scaled CE errSCE，如图四所示，这里只是给 errCE 的表达式把对数从 loge 换成 log2。即从公式（1）换成公式（2）

图四 Visualizing Error Functions with Scaled CE ^[1]

从图四中，我们可以发现，err0/1 始终小于 errSQR 和 errCE，如公式（3）所示，那么在数据量足够大的情况下，Eout 也有类似的情况，如公式（4）所示。再接着，由于之前VC Bound的结论，我们可以得到公式（5）， 所以接下来我们就可以Logistic Regrssion的方法去解决Linear Classification的问题了

算法流程一般是在输出空间{-1, +1} 的情况下，通过线性回归和logistic回归相对应的求解方法求出最优的权值 WREG；
将求得的代入公式sign，得到最优假设函数。

2. Multiclass via Logistic Regression - OVA Algorithm

实际生活中，也有很多的场合需要对多种情况进行分类：比如区分病人患了哪种类型的疾病；区分不同种类的蔬菜等。

求解多类别问题可以采用二元分类的思想，将多类问题分解多多个二元分类问题，然后再分别求权值，最终分到最高权值的类别去。

如图五的多类别问题，我们可以分解成图六的多个二元分类问题去求解，最终中间的公共区域，我们通过公式（6）求得最大的概率，哪一类的概率最大，就把这个点归于哪一类。

要注意使用软分类（因为直接分类的话中间的公共区域无法区分）

图五 Multiclass Classification ^[2]

图六 Multiclass Classification Soft Classifiers ^[2]

这种算法称作一对多（One-Versus-All），简称为OVA，表示一个类别对其他所有类别。

算法的流程如图七所示

图七 OVA Decomposition ^[2]

该算法的优点是简单有效，易于类似于logistic函数的二元分类问题扩展成多类别分类；缺点是当类别特别多时，产生了不平衡的现象（如类别特别多，则+1的数据量就很少，大部分都是-1，数据量严重不平衡）。

3. Multiclass via Binary Classification - OVO Algorithm

上一节的最后提到OVA的方式在类别非常多的情况下，出现了训练数据严重失衡的现象，于是有另外一种方法 一对一(One-Versus-One)算法，简称OVO。同样对图五的问题做多元分类，但是这次我们一次单独考虑2种类型的点，直到两两都进行过分类（分类次数就是组合数 C， 例子中就是 C24=6）。如图八所示。

图八 OVO ^[3]

算法的流程如图九所示

图九 OVO ^[3]

其优点是简单有效，在做两两对比时，每次使用的不是全部训练数据，而是仅属于当前两类的训练数据，能将所有类似于二元分类的算法扩展成多元分类问题； 缺点是对比次数是 O(N^2) 即：C2k。 也就是说要分的类别越多，就需要花费更多的存储空间和运算时间。

Summary

1. 首先我们对比了目前学到的Linear Models，由于Linear Classification的NP Hard求解问题，我们分析，最终发现可以使用Logistic Regression 的方法进行求解
2. 接着我们讨论了Multiclass Classification的 OVA 算法，但是该算法存在问题：类型很多的时候，会出现数据不平衡的问题
3. 最后在OVA的基础上，我们继续讨论了OVO算法，该算法克服了OVA数据不平衡的问题。但是该算法的缺点是存储空间和运算时间都比较大

Reference

[1] 机器学习基石(台湾大学-林轩田)\11\11 - 1 - Linear Models for Binary Classification (21-35)

[2] 机器学习基石(台湾大学-林轩田)\11\11 - 3 - Multiclass via Logistic Regression (14-18)

[3] 机器学习基石(台湾大学-林轩田)\11\11 - 4 - Multiclass via Binary Classification (11-35)