A.虚数

  定义虚单位$i$i是满足方程$z^2+1=0$z2+1=0的两个根之一。(另一个根是$-i$−i)。通常写为$i=\sqrt{-1}$i=−1​。
复数$z$z和其复共轭$\bar z$zˉ被写为
$z=x+i y, \quad \bar{z}=x-i y$z=x+iy,zˉ=x−iy其中$x,y$x,y是实数。$x$x被称为实部，$y$y是虚部，并记为：
$x=\operatorname{Re} z, \quad y=\operatorname{Im} z$x=Rez,y=Imz

二者可以$z$z和$\bar z$zˉ的线性组合构造出来：
$\operatorname{Re} z=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), \quad \operatorname{Im} z=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})$Rez=21​(z+zˉ),Imz=2i1​(z−zˉ)

  复数的指数函数可以用泰勒展开进行计算。$\begin{aligned} e^{i \theta} &=1+(i \theta)+\frac{(i \theta)^{2}}{2 !}+\frac{(i \theta)^{3}}{3 !}+\frac{(i \theta)^{4}}{4 !}+\frac{(i \theta)^{5}}{5 !} \cdots \\ &=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2 !}+\frac{\theta^{4}}{4 !}-\ldots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !}+\ldots\right)=\cos \theta+i \sin \theta \end{aligned}$eiθ​=1+(iθ)+2!(iθ)2​+3!(iθ)3​+4!(iθ)4​+5!(iθ)5​⋯=(1−2!θ2​+4!θ4​−…)+i(θ−3!θ3​+5!θ5​+…)=cosθ+isinθ​

上式即欧拉公式。
  复数$x+i y=z$x+iy=z能在一个复平面中表示，如图

可由$x=r \cos \theta$x=rcosθ以及$y=r \sin \theta$y=rsinθ，推得$z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta}$z=r(cosθ+isinθ)=reiθ