图形学考试重点：Chapter 6

三维变换及三维观察
三维基本几何变换（三维齐次坐标变换矩阵）
平移变换Tt=⎡⎣⎢⎢⎢⎢100Tx010Ty001Tz0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$T_t=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ T_x& T_y& T_z& 1\end{array}\right]$
一般比例变换：Ts=⎡⎣⎢⎢⎢a0000e0000j00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_s=\left[\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 0\\ 0& e& 0& 0\\ 0& 0& j& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
整体比例变换：Ts=⎡⎣⎢⎢⎢100001000010000s⎤⎦⎥⎥⎥$T_s=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& s\end{array}\right]$
旋转变换：
绕z轴旋转：TRZ=⎡⎣⎢⎢⎢cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{RZ}=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & sin\theta & 0& 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
绕x轴旋转：TRX=⎡⎣⎢⎢⎢10000cosθ−sinθ00sinθcosθ00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{RX}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & sin\theta & 0\\ 0& -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
绕y轴旋转：TRY=⎡⎣⎢⎢⎢cosθ0sinθ00100−sinθ0cosθ00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{RY}=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于坐标平面对称：
关于XOY平面对称：TFXY=⎡⎣⎢⎢⎢1000010000−100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{FXY}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于YOZ平面对称：TFYZ=⎡⎣⎢⎢⎢−1000010000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{FYZ}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于ZOX平面对称：TFZX=⎡⎣⎢⎢⎢10000−10000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{FZX}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于坐标轴的对称变换：
关于x轴的对称：TFx=⎡⎣⎢⎢⎢10000−10000−100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{F_x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于y轴的对称：TFy=⎡⎣⎢⎢⎢−1000010000−100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{F_y}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于z轴的对称：TFz=⎡⎣⎢⎢⎢−10000−10000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{F_z}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
关于原点的对称：TFz=⎡⎣⎢⎢⎢−10000−10000−100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{F_z}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

相对于任一参考点的几何变换：（1）将参考点平移到原点 （2）针对原点进行几何变换 （3）进行反平移
绕任意轴的三维旋转变换：
(1) 使任意方向轴的起点与坐标原点重合， 此时进行平移变换 。
(2) 使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次 。
(3) 针对该坐标轴完成变换 。
(4) 用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向 。
(5) 用逆平移变换使方向轴回到其原始位置 。
例如：
（1）将坐标原点平移到A点TA=⎡⎣⎢⎢⎢⎢100−Tx010−Ty001−Tz0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$T_A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -T_x& -T_y& -T_z& 1\end{array}\right]$
(2) 将O’BB’绕x’轴逆时针旋转α 角，则O’B旋转到X’OZ’平面上。
TRx=⎡⎣⎢⎢⎢10000cosα−sinα00sinαcosα00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{R_x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\alpha & \sin \alpha & 0\\ 0& -sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(3)将O’B绕y’轴顺时针旋转β 角,则O’B旋转到z’轴上。
TRy=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(−β)0sin(−β)00100−sin(−β)0cos(−β)00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$T_{R_y}=\left[\begin{array}{cccc}cos(-\beta )& 0& -sin(-\beta )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin(-\beta )& 0& cos(-\beta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(4) 经以上三步变换后，AB 轴与z‘ 轴重合，此时绕AB 轴的旋转转换为绕z 轴的旋转
(5) 最后，求TA,TRx,TRy$T_A,T_{R_x},T_{R_y}$的逆变换，回到AB原来的位置。
T=TA⋅TRx⋅TRy⋅TR⋅T−1Ry⋅T−1Rx⋅T−1A$T=T_A\cdot T_{R_x}\cdot T_{R_y}\cdot T_R\cdot T_{R_y}^{-1}\cdot T_{R_x}^{-1}\cdot T_A^{-1}$

投影变换
平面几何投影变换：投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形的过程。
平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。
观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。
平行几何投影可分为两大类：
透视投影的投射中心到投射面之间的距离是有限的；平行投影的投射中心到投射面之间的距离是无限的。
平行投影可分为正投影和斜投影，正投影又分为三视图和正轴侧。当投影面与任一坐标轴垂直的时候，得到的投影是三视图；否则得到的就是正轴侧图。
三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与y轴、x轴和z轴垂直。
计算方式:
(1)确定三维形体上各点的位置坐标。
(2)引入齐次坐标，求出所做变换相应的变换矩阵。
(3)将所做变换用矩阵表示，求出变换点的坐标。
(4)画出三视图。
主视图：将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影（ 即正平行投影），得到主视图。
主视图投影矩阵：Tv=⎡⎣⎢⎢⎢1000000000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_v=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
俯视图：将三维形体向xoy面（又称为H面）作垂直投影得到俯视图。
（1）投影变换Txoy=⎡⎣⎢⎢⎢1000010000000001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{xoy}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
（2）使H面绕x轴负转90∘${90}^{\circ }$ TRx=⎡⎣⎢⎢⎢⎢10000cos(−90∘)−sin(−90∘)00sin(−90∘)cos(−90∘)00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢100000100−1000001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{R_x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos(-{90}^{\circ })& sin(-{90}^{\circ })& 0\\ 0& -sin(-{90}^{\circ })& cos(-{90}^{\circ })& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(3)使H面沿z方向平移一段距离−z0$-z_0$Ttz=⎡⎣⎢⎢⎢10000100001−z00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{tz}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -z_0& 1\end{array}\right]$
俯视图投影矩阵：T=Txoy⋅TRx⋅Ttz=⎡⎣⎢⎢⎢100000000−10−z00001⎤⎦⎥⎥⎥$T=T_{xoy}\cdot T_{R_x}\cdot T_{tz}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -z_0& 1\end{array}\right]$
侧视图：将三维形体向yoz面（侧面W）做垂直投影。
（1）侧视图的投影变换：Tyoz=⎡⎣⎢⎢⎢0000010000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{yoz}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(2)使W面绕z轴正转90^∘$\circ$:TRZ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(90∘)−sin(90∘)00sin(90∘)cos(90∘)0000100001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$T_{R_Z}=\left[\begin{array}{cccc}cos({90}^{\circ })& sin({90}^{\circ })& 0& 0\\ -sin({90}^{\circ })& cos({90}^{\circ })& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(3)使W面沿x轴负方向平移一段距离x0$x_0$Ttx=⎡⎣⎢⎢⎢100−x0010000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{t_x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -x_0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
侧视图投影矩阵：T=Tyoz⋅TRZ⋅Ttx=⎡⎣⎢⎢⎢0−10−x0000000100001⎤⎦⎥⎥⎥$T=T_{yoz}\cdot T_{R_Z}\cdot T_{t_x}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -x_0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

正轴侧图：

（1）先绕y轴旋转α$\alpha$角，使AC与x轴重合。
TRY=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cos(−α)0sin(−α)00100−sin(−α)0cos(−α)00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥$T_{RY}=\left[\begin{array}{cccc}cos(-\alpha )& 0& -sin(-\alpha )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin(-\alpha )& 0& cos(-\alpha )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(2)再绕x轴旋转β$\beta$角，使之与xoy平面重合。
TRX=⎡⎣⎢⎢⎢10000cosβ−sinβ00sinβcosβ00001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{RX}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\beta & sin\beta & 0\\ 0& -sin\beta & cos\beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
(3)将三维物体向xoy平面作正投影。
Txoy=⎡⎣⎢⎢⎢1000010000000001⎤⎦⎥⎥⎥$T_{xoy}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
正等轴侧图投影矩阵：T=TRY⋅TRX⋅Txoy=⎡⎣⎢⎢⎢cosα0−sinα0−sinα⋅sinβcosβ−cosα⋅sinβ000000001⎤⎦⎥⎥⎥$T=T_{RY}\cdot T_{RX}\cdot T_{xoy}=\left[\begin{array}{cccc}cos\alpha & -sin\alpha \cdot sin\beta & 0& 0\\ 0& cos\beta & 0& 0\\ -sin\alpha & -cos\alpha \cdot sin\beta & 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
透视投影：变换矩阵：⎡⎣⎢⎢⎢100001000000001/d1⎤⎦⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1/d\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
透视缩小效应:物体的透视投影的大小与物体到投影中心的z方向距离成反比.
透视投影特征：
透视投影的深度感更强，更加具有真实感，但透视投影不能够准确反映物体的大小和形状。
透视投影的大小与物体到投影中心的距离有关。
一组平行线若平行于投影平面时，它们的透视投影仍然保持平行。
只有当物体表面平行于投影平面时，该表面上的角度在透视投影中才能被保持。
三维观察变换：

观察平面，即投影平面。
观察坐标系：通过改变观察参考点的位置或改变N的方向可以使用户在不同距离和角度观察三维物体。

观察空间：将观察窗口沿投影方向做平移运动产生的三维物体。
观察空间的大小和形状依赖于窗口的大小和投影方向。

三维观察流程：

用户坐标系到观察坐标系的变换：
(1) 平移观察参考点到用户坐标系原点
(2) 进行旋转变换分别让xv$x_v$、yv$y_v$和zv$z_v$轴对应到用户坐标系中的x、y和z轴。